Как найти промежутки, точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значение функции Y = x^3 - 3x^2 - 4 на интервале (-4; 1)?

Математика 11 класс Исследование функций промежутки экстремума точки экстремума Наибольшее значение функции наименьшее значение функции математика 11 класс анализ функции Y = x^3 - 3x^2 - 4 Новый

Чтобы найти промежутки, точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значение функции Y = x^3 - 3x^2 - 4 на интервале (-4; 1), следуем следующим шагам:

1. Найдем производную функции.

   Для начала найдем первую производную функции Y:

   Y' = 3x^2 - 6x.

2. Найдем критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Уравняем производную нулю:

   3x^2 - 6x = 0.

   Вынесем общий множитель:

   3x(x - 2) = 0.

   Таким образом, критические точки:

   • x = 0,
   • x = 2.
3. Определим, какие из критических точек находятся на заданном интервале.

   Наш интервал (-4; 1). Из критических точек x = 0 и x = 2, только x = 0 находится в интервале.

4. Найдем значения функции в критической точке и на границах интервала.

   Теперь вычислим значения функции Y на границах интервала и в критической точке:

   • Y(-4) = (-4)^3 - 3(-4)^2 - 4 = -64 - 48 - 4 = -116,
   • Y(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 4 = -4,
   • Y(1) = 1^3 - 3(1)^2 - 4 = 1 - 3 - 4 = -6.
5. Сравним найденные значения.

   Теперь сравним значения:

   • Y(-4) = -116,
   • Y(0) = -4,
   • Y(1) = -6.

   Наибольшее значение функции на интервале (-4; 1) равно -4 (в точке x = 0), а наименьшее значение равно -116 (в точке x = -4).

Ответ: Наибольшее значение функции на интервале (-4; 1) равно -4, а наименьшее значение равно -116. Точка экстремума - x = 0.