Как найти решение дифференциального уравнения у"+5у'+6у=0?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения уравнение у"+5у'+6у=0 методы решения дифференциальных уравнений Новый

Чтобы решить дифференциальное уравнение второго порядка у" + 5у' + 6у = 0, мы будем использовать метод характеристического уравнения.

Шаги решения:

1. Запишем характеристическое уравнение: Для уравнения у" + 5у' + 6у = 0 мы можем подставить у = e^(rt), где r - корень характеристического уравнения. После подстановки получаем:
• r^2 + 5r + 6 = 0
2. Решим характеристическое уравнение: Для решения квадратного уравнения r^2 + 5r + 6 = 0 мы можем воспользоваться формулой корней:
• r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
• где a = 1, b = 5, c = 6.
3. Подставим значения: Подставив a, b и c в формулу, получаем:
• r = (-5 ± √(5^2 - 4 * 1 * 6)) / (2 * 1)
• r = (-5 ± √(25 - 24)) / 2
• r = (-5 ± √1) / 2
• Это дает два корня: r1 = -2 и r2 = -3.
4. Запишем общее решение: Поскольку у нас два различных корня, общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:
• у(t) = C1 * e^(-2t) + C2 * e^(-3t),
5. где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями, если они заданы.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения у" + 5у' + 6у = 0 будет:

у(t) = C1 * e^(-2t) + C2 * e^(-3t)