Как найти решение логарифмического уравнения: log3x + 2logx3 = 3?

Математика 11 класс Логарифмы Логарифмическое уравнение решение уравнения математика 11 класс log3x logx3 методы решения логарифмов Новый

Чтобы решить логарифмическое уравнение log3x + 2logx3 = 3, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Перепишем уравнение: У нас есть два логарифма. Важно помнить, что log_a(b) = 1/log_b(a). Поэтому log_x(3) можно переписать как 1/log_3(x).
2. Применим это к уравнению: Заменим log_x(3) на 1/log_3(x). Мы получим:
• log3x + 2 * (1/log3x) = 3
3. Обозначим: Пусть y = log3(x). Тогда уравнение примет вид:
• y + 2 * (1/y) = 3
4. Умножим обе стороны на y: Это позволит избавиться от дроби:
• y^2 + 2 = 3y
5. Переносим все в одну сторону:
• y^2 - 3y + 2 = 0
6. Решаем квадратное уравнение: Мы можем разложить его на множители:
• (y - 1)(y - 2) = 0
7. Находим корни:
• y = 1
• y = 2
8. Возвращаемся к логарифму: Напоминаем, что y = log3(x). Теперь мы можем записать два уравнения:
• log3(x) = 1
• log3(x) = 2
9. Решаем каждое из уравнений:
• Из первого уравнения: x = 3^1 = 3.
• Из второго уравнения: x = 3^2 = 9.
10. Ответ: Таким образом, решения нашего уравнения:
• x = 3
• x = 9

Итак, мы нашли два решения: x = 3 и x = 9.