Как найти решение уравнения 3^sin(2x) * 27^cos(x) = 1 на интервале [0; 5]?

Математика 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями уравнение 3^sin(2x) решение уравнения интервал [0; 5] математика 11 класс тригонометрические функции нахождение корней уравнения Новый

Чтобы решить уравнение 3^sin(2x) * 27^cos(x) = 1 на интервале [0; 5], давайте сначала упростим его.

Заметим, что 27 можно представить как 3^3. Таким образом, мы можем переписать уравнение:

• 27^cos(x) = (3^3)^cos(x) = 3^(3cos(x)).

Теперь уравнение принимает вид:

3^sin(2x) * 3^(3cos(x)) = 1.

Складываем показатели:

3^(sin(2x) + 3cos(x)) = 1.

Поскольку основание 3 положительное, уравнение 3^A = 1 выполняется тогда и только тогда, когда A = 0. Поэтому мы можем записать:

sin(2x) + 3cos(x) = 0.

Теперь решим это уравнение. Мы можем выразить sin(2x) через cos(x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Подставим это в уравнение:

2sin(x)cos(x) + 3cos(x) = 0.

Вынесем cos(x) за скобки:

cos(x)(2sin(x) + 3) = 0.

Теперь у нас есть два множителя, каждый из которых может быть равен нулю:

1. cos(x) = 0
2. 2sin(x) + 3 = 0

Решим каждое из этих уравнений:

1. cos(x) = 0:

• Это уравнение выполняется, когда x = π/2 + kπ, где k – целое число.
• В интервале [0; 5] решения будут: x = π/2 и x = 3π/2 (где 3π/2 ≈ 4.71).

2. 2sin(x) + 3 = 0:

• Решим это уравнение: 2sin(x) = -3.
• Так как sin(x) не может быть меньше -1, у этого уравнения нет решений.

Таким образом, у нас есть два решения уравнения:

• x = π/2 (примерно 1.57)
• x = 3π/2 (примерно 4.71)

Итак, решения уравнения 3^sin(2x) * 27^cos(x) = 1 на интервале [0; 5]:

• x ≈ 1.57
• x ≈ 4.71