Как найти решение уравнения log2(x+12) = 2 * log2(x)?

Математика 11 класс Логарифмы решение уравнения Логарифмическое уравнение log2(x+12) log2(x) математика 11 класс алгебра свойства логарифмов Новый

Чтобы решить уравнение log2(x + 12) = 2 * log2(x), следуем следующим шагам:

1. Используем свойства логарифмов: Мы знаем, что 2 * log2(x) можно переписать как log2(x^2) по свойству логарифмов, которое гласит, что k * log(a) = log(a^k). Таким образом, уравнение преобразуется в:
• log2(x + 12) = log2(x^2)
2. Убираем логарифмы: Если логарифмы равны, то их аргументы также равны (при условии, что они положительны). Это дает нам новое уравнение:
• x + 12 = x^2
3. Приводим уравнение к стандартному виду: Переносим все члены на одну сторону уравнения:
• x^2 - x - 12 = 0
4. Решаем квадратное уравнение: Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = -1, c = -12. Подставляем значения в формулу:

• D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49
• x = (1 ± √49) / 2 = (1 ± 7) / 2
5. Находим корни: Теперь находим два возможных значения для x:
• x1 = (1 + 7) / 2 = 4
• x2 = (1 - 7) / 2 = -3
6. Проверяем допустимость корней: Поскольку логарифм определен только для положительных значений, проверяем оба корня:
• x1 = 4: log2(4 + 12) = log2(16) = 4 и 2 * log2(4) = 2 * 2 = 4 (подходит)
• x2 = -3: log2(-3 + 12) = log2(9) (определен), но 2 * log2(-3) (не определен, так как логарифм отрицательного числа не существует).

Таким образом, единственным решением уравнения является:

x = 4