Как найти стационарные точки функции f(x)=2x^3+6x^2-1?

Математика 11 класс Исследование функций стабильные точки стационарные точки функции производные математический анализ нахождение стационарных точек f(x)=2x^3+6x^2-1 Новый

Чтобы найти стационарные точки функции f(x) = 2x^3 + 6x^2 - 1, нам нужно выполнить несколько шагов. Стационарные точки - это такие точки, в которых производная функции равна нулю. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

1. Найти производную функции:

   Первым шагом мы найдем производную функции f(x). Для этого мы применим правила дифференцирования:

   • Производная от x^n равна n*x^(n-1).
   • Производная от константы равна 0.

   Таким образом, производная f(x) будет:

   f'(x) = d/dx(2x^3) + d/dx(6x^2) + d/dx(-1) = 6x^2 + 12x + 0 = 6x^2 + 12x.

2. Приравнять производную к нулю:

   Теперь, чтобы найти стационарные точки, мы приравняем производную к нулю:

   6x^2 + 12x = 0.

3. Решить уравнение:

   Чтобы решить это уравнение, мы можем вынести общий множитель:

   6x(x + 2) = 0.

   Теперь мы можем использовать правило нуля: произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

   • 6x = 0 → x = 0.
   • x + 2 = 0 → x = -2.

   Таким образом, мы нашли два значения x: x = 0 и x = -2.

4. Записать стационарные точки:

   Теперь, когда мы нашли значения x, мы можем записать стационарные точки:

   • Первая стационарная точка: (0, f(0)) = (0, 2(0)^3 + 6(0)^2 - 1) = (0, -1).
   • Вторая стационарная точка: (-2, f(-2)) = (-2, 2(-2)^3 + 6(-2)^2 - 1) = (-2, -16 + 24 - 1) = (-2, 7).

Таким образом, стационарные точки функции f(x) = 2x^3 + 6x^2 - 1 находятся в точках (0, -1) и (-2, 7).