Как найти сумму, разность, произведение и отношение комплексных чисел:

z1=3

z2=cos(-p/4)+i sin(-p/4)

Математика 11 класс Комплексные числа сумма комплексных чисел разность комплексных чисел произведение комплексных чисел отношение комплексных чисел Z1 Z2 cos sin математические операции комплексные числа Новый

Давайте разберем, как находить сумму, разность, произведение и отношение комплексных чисел на примере заданных чисел: z1 = 3 и z2 = cos(-π/4) + i sin(-π/4).

Сначала представим z2 в стандартной форме. Мы знаем, что:

• cos(-π/4) = √2/2
• sin(-π/4) = -√2/2

Таким образом, z2 можно записать как:

z2 = √2/2 - i√2/2.

Теперь у нас есть два комплексных числа:

• z1 = 3 + 0i,
• z2 = √2/2 - i√2/2.

Теперь перейдем к вычислениям.

1. Сумма комплексных чисел (z1 + z2):

Складываем действительные и мнимые части:

• Сумма действительных частей: 3 + √2/2.
• Сумма мнимых частей: 0 - √2/2 = -√2/2.

Таким образом, сумма z1 и z2 будет:

z1 + z2 = (3 + √2/2) - i√2/2.

2. Разность комплексных чисел (z1 - z2):

Вычитаем действительные и мнимые части:

• Разность действительных частей: 3 - √2/2.
• Разность мнимых частей: 0 - (-√2/2) = √2/2.

Таким образом, разность z1 и z2 будет:

z1 - z2 = (3 - √2/2) + i√2/2.

3. Произведение комплексных чисел (z1 * z2):

Для умножения комплексных чисел используем формулу:

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.

Подставим наши значения:

• a = 3, b = 0, c = √2/2, d = -√2/2.

Теперь вычислим:

• Действительная часть: 3 * (√2/2) - 0 * (-√2/2) = 3√2/2.
• Мнимая часть: 3 * (-√2/2) + 0 * (√2/2) = -3√2/2.

Таким образом, произведение z1 и z2 будет:

z1 * z2 = (3√2/2) - (3√2/2)i.

4. Отношение комплексных чисел (z1 / z2):

Для деления комплексных чисел используем формулу:

(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2).

Подставим наши значения:

• a = 3, b = 0, c = √2/2, d = -√2/2.

Вычислим:

• Действительная часть: (3 * (√2/2) + 0 * (-√2/2)) = 3√2/2.
• Мнимая часть: (0 * (√2/2) - 3 * (-√2/2)) = 3√2/2.
• Знаменатель: (√2/2)^2 + (-√2/2)^2 = 2/4 + 2/4 = 1.

Таким образом, отношение z1 и z2 будет:

z1 / z2 = (3√2/2 + 3√2/2 i) / 1 = 3√2/2 + 3√2/2 i.

Итак, мы нашли сумму, разность, произведение и отношение комплексных чисел z1 и z2:

• Сумма: z1 + z2 = (3 + √2/2) - i√2/2;
• Разность: z1 - z2 = (3 - √2/2) + i√2/2;
• Произведение: z1 * z2 = (3√2/2) - (3√2/2)i;
• Отношение: z1 / z2 = 3√2/2 + 3√2/2 i.