Чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить несколько шагов. Мы рассмотрим оба случая по отдельности.
а) Функция: y = x^3/3 - 25x + 19
- Найти производную функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования:
- y' = (1/3) * 3x^2 - 25 = x^2 - 25
- Найти критические точки. Для этого приравняем производную к нулю:
- x^2 - 25 = 0
- x^2 = 25
- x = ±5
- Определить, является ли критическая точка минимумом или максимумом. Для этого найдем вторую производную:
- Подставим критические точки в вторую производную:
- Для x = 5: y''(5) = 2 * 5 = 10 (больше 0, значит, минимум)
- Для x = -5: y''(-5) = 2 * (-5) = -10 (меньше 0, значит, максимум)
- Найти значение функции в точке минимума:
- y(5) = (5^3)/3 - 25*5 + 19 = 125/3 - 125 + 19 = 125/3 - 375/3 + 57/3 = -193/3
- Ответ: Точка минимума: (5, -193/3).
б) Функция: y = x^2 - 0.5x^4
- Найти производную функции:
- Найти критические точки: Приравняем производную к нулю:
- 2x - 2x^3 = 0
- 2x(1 - x^2) = 0
- x = 0, x^2 = 1 (x = ±1)
- Определить, является ли критическая точка минимумом или максимумом: Найдем вторую производную:
- Подставим критические точки в вторую производную:
- Для x = 0: y''(0) = 2 - 6*0^2 = 2 (больше 0, значит, минимум)
- Для x = 1: y''(1) = 2 - 6*1^2 = -4 (меньше 0, значит, максимум)
- Для x = -1: y''(-1) = 2 - 6*(-1)^2 = -4 (меньше 0, значит, максимум)
- Найти значение функции в точке минимума:
- Ответ: Точка минимума: (0, 0).