Как найти точку минимума функции: а) y = x^3/3 - 25x + 19. б) y = x^2 - 0.5x^4?

Математика 11 класс Оптимизация функций точка минимума функция y = x^3/3 - 25x + 19 y = x^2 - 0.5x^4 математический анализ производная функции Новый

Чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить несколько шагов. Мы рассмотрим оба случая по отдельности.

а) Функция: y = x^3/3 - 25x + 19

1. Найти производную функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования:
• y' = (1/3) * 3x^2 - 25 = x^2 - 25
2. Найти критические точки. Для этого приравняем производную к нулю:
• x^2 - 25 = 0
• x^2 = 25
• x = ±5
3. Определить, является ли критическая точка минимумом или максимумом. Для этого найдем вторую производную:
• y'' = 2x
4. Подставим критические точки в вторую производную:
• Для x = 5: y''(5) = 2 * 5 = 10 (больше 0, значит, минимум)
• Для x = -5: y''(-5) = 2 * (-5) = -10 (меньше 0, значит, максимум)
5. Найти значение функции в точке минимума:
• y(5) = (5^3)/3 - 25*5 + 19 = 125/3 - 125 + 19 = 125/3 - 375/3 + 57/3 = -193/3
6. Ответ: Точка минимума: (5, -193/3).

б) Функция: y = x^2 - 0.5x^4

1. Найти производную функции:
• y' = 2x - 2x^3
2. Найти критические точки: Приравняем производную к нулю:
• 2x - 2x^3 = 0
• 2x(1 - x^2) = 0
• x = 0, x^2 = 1 (x = ±1)
3. Определить, является ли критическая точка минимумом или максимумом: Найдем вторую производную:
• y'' = 2 - 6x^2
4. Подставим критические точки в вторую производную:
• Для x = 0: y''(0) = 2 - 6*0^2 = 2 (больше 0, значит, минимум)
• Для x = 1: y''(1) = 2 - 6*1^2 = -4 (меньше 0, значит, максимум)
• Для x = -1: y''(-1) = 2 - 6*(-1)^2 = -4 (меньше 0, значит, максимум)
5. Найти значение функции в точке минимума:
• y(0) = 0^2 - 0.5*0^4 = 0
6. Ответ: Точка минимума: (0, 0).