Как найти точку минимума функции y=2/3 x^(3/2)-2x+1, где в скобках - степень x?

Буду признателен за решение.

Математика 11 класс Оптимизация функций точка минимума функция y=2/3 x^(3/2)-2x+1 математика 11 класс решение задачи Новый

Чтобы найти точку минимума функции y = (2/3) * x^(3/2) - 2x + 1, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найти производную функции.

   Для начала найдем первую производную функции y по x. Используем правило дифференцирования:

   • Производная (x^(n)) = n * x^(n-1).

   Таким образом, производная будет:

   • y' = (2/3) * (3/2) * x^(1/2) - 2 = (1/2) * x^(1/2) - 2.
2. Найти критические точки.

   Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю:

   • (1/2) * x^(1/2) - 2 = 0.

   Решим это уравнение:

   • (1/2) * x^(1/2) = 2
   • x^(1/2) = 4
   • x = 16.
3. Проверить, является ли критическая точка минимумом.

   Для этого найдем вторую производную функции:

   • y'' = (1/2) * (1/2) * x^(-1/2) = (1/4) * x^(-1/2).

   Теперь подставим найденное значение x = 16 в вторую производную:

   • y''(16) = (1/4) * (1/4) = 1/16 > 0.

   Так как вторая производная положительна, это означает, что в точке x = 16 у нас находится минимум.

4. Найти значение функции в точке минимума.

   Теперь подставим x = 16 в исходную функцию, чтобы найти значение y:

   • y(16) = (2/3) * (16)^(3/2) - 2 * 16 + 1.
   • 16^(3/2) = 64, следовательно:
   • y(16) = (2/3) * 64 - 32 + 1 = (128/3) - 32 + 1 = (128/3) - (96/3) + (3/3) = (128 - 96 + 3)/3 = 35/3.

Итак, точка минимума функции y = (2/3) * x^(3/2) - 2x + 1 находится в точке (16, 35/3).