Чтобы найти все первообразные функции для заданных выражений, нам нужно выполнить интегрирование. Первообразная функции — это функция, производная которой равна данной функции. Рассмотрим каждое выражение по отдельности.

Чтобы найти первообразную, мы будем интегрировать каждое слагаемое по отдельности:

• Интеграл от x^4:
  • Используем правило интегрирования: ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.
  • В нашем случае n = 4, поэтому: ∫x^4 dx = (x^(4+1))/(4+1) = x^5/5.
• Интеграл от 10x:
  • Здесь n = 1, поэтому: ∫10x dx = 10 * (x^(1+1))/(1+1) = 10 * x^2/2 = 5x^2.
• Интеграл от -2:
  • Это просто: ∫(-2) dx = -2x.

Теперь складываем все найденные интегралы и добавляем произвольную константу C:

F(x) = (x^5/5) + 5x^2 - 2x + C.

Аналогично, интегрируем каждое слагаемое:

• Интеграл от 10x:
  • Как и ранее, ∫10x dx = 5x^2.
• Интеграл от x^7:
  • Здесь n = 7, поэтому: ∫x^7 dx = (x^(7+1))/(7+1) = x^8/8.

Складываем результаты:

F(x) = 5x^2 + (x^8/8) + C.

Все первообразные функции для заданных выражений:

• Для F(x) = x^4 + 10x - 2: F(x) = (x^5/5) + 5x^2 - 2x + C.
• Для F(x) = 10x + x^7: F(x) = 5x^2 + (x^8/8) + C.