Как найти высоту конуса, который вписан в шар радиуса R, так чтобы его площадь поверхности была максимальной?

P.S. Это матан

P.S.S. Решение должно быть через производные

Математика 11 класс Оптимизация функций высота конуса вписанный конус шар радиуса r площадь поверхности конуса максимальная площадь производные в математике Новый

Чтобы найти высоту конуса, вписанного в шар радиуса R, так чтобы его площадь поверхности была максимальной, нам нужно воспользоваться некоторыми геометрическими соотношениями и производными. Давайте разберем решение шаг за шагом.

Шаг 1: Определение параметров конуса

Пусть h - высота конуса, а r - радиус основания конуса. Поскольку конус вписан в шар, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения соотношения между h и r:

• Согласно теореме Пифагора: R^2 = h^2 + r^2.

Шаг 2: Выражение площади поверхности конуса

Площадь поверхности конуса S состоит из площади основания и боковой поверхности:

• Площадь основания: S_осн = πr^2.
• Площадь боковой поверхности: S_бок = πr√(r^2 + h^2).

Таким образом, полная площадь поверхности конуса S будет равна:

• S = S_осн + S_бок = πr^2 + πr√(r^2 + h^2).

Шаг 3: Подстановка и упрощение

Теперь подставим h из уравнения R^2 = h^2 + r^2:

• h = √(R^2 - r^2).

Теперь подставим h в формулу для площади поверхности S:

• S = πr^2 + πr√(r^2 + (R^2 - r^2)) = πr^2 + πr√(R^2).

Это упростится до:

• S = πr^2 + πRr.

Шаг 4: Поиск производной

Теперь найдем производную S по r и приравняем её к нулю для нахождения критических точек:

• S' = 2πr + πR.

Приравняем производную к нулю:

• 2πr + πR = 0.
• 2r + R = 0.
• r = -R/2.

Поскольку радиус не может быть отрицательным, мы должны искать максимумы в пределах допустимого значения r.

Шаг 5: Проверка границ

Мы также должны проверить границы, когда r = 0 и r = R:

• При r = 0: S = 0.
• При r = R: S = πR^2 + πR * R = 2πR^2.

Шаг 6: Подстановка найденного r для нахождения h

Теперь, чтобы найти высоту конуса, мы можем использовать найденное значение r:

• r = R/√2.
• h = √(R^2 - (R/√2)^2) = √(R^2 - R^2/2) = √(R^2/2) = R/√2.

Ответ:

Таким образом, высота конуса, вписанного в шар радиуса R, при максимальной площади поверхности равна h = R/√2.