Как определить максимальное и минимальное значение функции y=x^5+15x^3-50 на интервале [-5;0]?

Математика 11 класс Оптимизация функций максимальное значение функции минимальное значение функции y=x^5+15x^3-50 интервал [-5;0] анализ функции Новый

Чтобы определить максимальное и минимальное значение функции y = x^5 + 15x^3 - 50 на заданном интервале [-5; 0], нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.

   Сначала мы найдем производную функции y по x:

   y' = 5x^4 + 45x^2.

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. Мы приравняем производную к нулю:

   5x^4 + 45x^2 = 0.

   Вынесем общий множитель:

   5x^2(x^2 + 9) = 0.

   Это уравнение равно нулю, когда:

   • x^2 = 0, что дает x = 0;
   • x^2 + 9 = 0 не имеет действительных корней.

   Таким образом, единственная критическая точка на интервале -5 до 0 это x = 0.

3. Определить значения функции в критических точках и на границах интервала.

   Теперь мы найдем значение функции в критической точке и на границах интервала:

   • На границе x = -5:

   y(-5) = (-5)^5 + 15(-5)^3 - 50 = -3125 - 1875 - 50 = -5050.

   • На границе x = 0:

   y(0) = 0^5 + 15(0)^3 - 50 = -50.

4. Сравнить полученные значения.

   Теперь сравним значения функции:

   • y(-5) = -5050;
   • y(0) = -50.

Таким образом, максимальное значение функции на интервале [-5; 0] равно -50 (при x = 0), а минимальное значение равно -5050 (при x = -5).