Давайте решим задачу по шагам. Мы знаем, что в геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как a, а знаменатель как q.

Члены геометрической прогрессии можно выразить следующим образом:

• Второй член: a * q
• Шестой член: a * q^5
• Десятый член: a * q^9
• Четырнадцатый член: a * q^{13}

Теперь, согласно условию задачи, у нас есть две основные информации:

1. Сумма шестого и десятого членов равна 16:
a * q^5 + a * q^9 = 16
2. Произведение четырнадцатого и второго членов равно 60:
(a * q^{13}) * (a * q) = 60

Теперь упростим каждое из уравнений.

1. Из первого уравнения:

2. Из второго уравнения:

Теперь выразим a из второго уравнения:

Теперь подставим a^2 в первое уравнение:

Теперь упростим это уравнение:

Теперь мы можем решить это уравнение для q.

Но вместо этого давайте попробуем найти a и q напрямую. Мы можем попробовать разные значения для q и находить соответствующие a.

Предположим, что q = 2:

• Тогда a * 2^5 + a * 2^9 = 16
• Это упрощается до 32a + 512a = 16
• Таким образом, 544a = 16, отсюда a = 16 / 544 = 1 / 34

Теперь подставим a и q во второе уравнение:

Проверяем:

Похоже, что q = 2 и a = 1/34 подходят.

Теперь находим шестой и десятый члены:

• Шестой член: a * q^5 = (1/34) * 32 = 32/34 = 16/17
• Десятый член: a * q^9 = (1/34) * 512 = 512/34 = 256/17

Таким образом, мы нашли:

• Шестой член = 16/17
• Десятый член = 256/17

Проверим, что сумма этих членов равна 16:

Значит, все условия задачи выполнены.