Чтобы провести исследование функции f(x) = -x^4 + 4x^2 с помощью производной и построить ее график, следуйте следующим шагам:

Сначала найдем производную функции f(x). Используем правило дифференцирования:

• Производная от -x^4 равна -4x^3.
• Производная от 4x^2 равна 8x.

Таким образом, производная функции f(x) будет:

f'(x) = -4x^3 + 8x.

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

-4x^3 + 8x = 0.

Можно вынести общий множитель:

-4x(x^2 - 2) = 0.

Это уравнение равно нулю, если:

• -4x = 0, что дает x = 0;
• x^2 - 2 = 0, что дает x = ±√2.

Таким образом, критические точки: x = 0, x = √2, x = -√2.

Теперь определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

• Интервал (-∞, -√2): выберем x = -2. Подставим в f'(-2): -4(-2)^3 + 8(-2) = 32 - 16 = 16 (положительно).
• Интервал (-√2, 0): выберем x = -1. Подставим в f'(-1): -4(-1)^3 + 8(-1) = 4 - 8 = -4 (отрицательно).
• Интервал (0, √2): выберем x = 1. Подставим в f'(1): -4(1)^3 + 8(1) = -4 + 8 = 4 (положительно).
• Интервал (√2, +∞): выберем x = 2. Подставим в f'(2): -4(2)^3 + 8(2) = -32 + 16 = -16 (отрицательно).

Таким образом, производная меняет знак:

• На интервале (-∞, -√2) - положительна;
• На интервале (-√2, 0) - отрицательна;
• На интервале (0, √2) - положительна;
• На интервале (√2, +∞) - отрицательна.

Теперь мы можем определить, какие из критических точек являются максимумами или минимумами:

• x = -√2: максимум (переход от увеличения к уменьшению);
• x = 0: минимум (переход от уменьшения к увеличению);
• x = √2: максимум (переход от увеличения к уменьшению).

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• f(-√2) = -(-√2)^4 + 4(-√2)^2 = -4 + 8 = 4;
• f(0) = -0^4 + 4*0^2 = 0;
• f(√2) = -(√2)^4 + 4(√2)^2 = -4 + 8 = 4.

Теперь мы можем построить график функции, зная критические точки и их значения:

• Точка (-√2, 4) - максимум;
• Точка (0, 0) - минимум;
• Точка (√2, 4) - максимум.

График функции будет иметь два максимума на уровне 4 и один минимум на уровне 0. Функция будет убывать на интервалах (-∞, -√2) и (√2, +∞), а также возрастать на интервалах (-√2, 0) и (0, √2).

Таким образом, мы провели полное исследование функции f(x) = -x^4 + 4x^2 и построили ее график, основываясь на производной и критических точках.