Как решить дифференциальное уравнение 1+(1+dx/dy)y=0, если ответ имеет вид C(e^y-1)=e^-x? Помогите, пожалуйста!

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение решение уравнения математика 11 класс метод решения интегрирование математический анализ C(e^y-1)=e^-x Новый

Для решения данного дифференциального уравнения 1 + (1 + dx/dy)y = 0, начнем с его упрощения и приведения к стандартному виду.

Первое, что мы можем сделать, это выразить производную dx/dy:

• Перепишем уравнение:
• (1 + dx/dy)y = -1
• Теперь выразим dx/dy:
• dx/dy = -1/y - 1

Теперь у нас есть уравнение в форме дифференциального уравнения первого порядка. Мы можем записать его как:

dx/dy = -1/y - 1

Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения. Но сначала, давайте преобразуем правую часть:

dx/dy = -(1 + y)/y

Теперь мы можем интегрировать:

1. Интегрируем обе стороны:
2. ∫dx = ∫-(1 + y)/y dy

Слева у нас будет просто x, а справа мы можем разложить правую часть на дроби:

• ∫-(1 + y)/y dy = ∫(-1/y - 1) dy
• Теперь интегрируем:
• ∫(-1/y) dy = -ln|y|
• ∫(-1) dy = -y

Таким образом, после интегрирования мы получаем:

x = -ln|y| - y + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Теперь давайте выразим y через x. Для этого преобразуем уравнение:

ln|y| = -x - y + C

Теперь возведем обе стороны в степень:

|y| = e^(-x - y + C) = e^C * e^(-x) * e^(-y)

Теперь умножим обе стороны на e^y:

y * e^y = e^C * e^(-x)

Таким образом, получаем:

y * e^y = C * e^(-x), где C = e^C (поскольку C - произвольная константа).

Теперь мы можем выразить y через x. Если мы заметим, что y = e^(-x)/C, то это и будет решением нашего уравнения.

В конечном итоге, мы можем записать ответ в виде:

C(e^y - 1) = e^(-x), что соответствует вашему запросу.

Таким образом, мы пришли к искомому решению дифференциального уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то осталось непонятным, пожалуйста, дайте знать!