Как решить неопределенный интеграл, применяя метод замены переменной?

Математика 11 класс Неопределённые интегралы неопределенный интеграл метод замены переменной решение интеграла интегралы в математике методы интегрирования Новый

Решение неопределенного интеграла с помощью метода замены переменной — это распространенный и эффективный метод. Давайте разберем его на примере и пошагово объясним, как это сделать.

Шаг 1: Выбор замены

Первым делом необходимо выбрать подходящую замену переменной. Обычно выбирается часть интегрируемой функции, которая упрощает выражение. Например, если у нас есть интеграл вида:

∫ f(g(x)) * g'(x) dx

то мы можем взять g(x) в качестве новой переменной.

Шаг 2: Выполнение замены

После выбора замены, обозначим ее как:

u = g(x)

Теперь нам нужно найти производную u по x:

du/dx = g'(x)

или, что эквивалентно:

du = g'(x) dx

Это позволяет нам выразить dx через du:

dx = du / g'(x)

Шаг 3: Подстановка в интеграл

Теперь мы можем подставить u и dx в исходный интеграл. Это преобразует наш интеграл в более простой вид:

∫ f(g(x)) * g'(x) dx = ∫ f(u) du

Шаг 4: Интегрирование

Теперь мы интегрируем функцию f(u) по переменной u. Это должно быть проще, чем интегрирование исходной функции.

Шаг 5: Возврат к исходной переменной

После того как мы нашли интеграл, не забудьте вернуть переменную к исходной. Для этого просто замените u обратно на g(x).

Пример:

Рассмотрим интеграл:

∫ (2x * e^(x^2)) dx

Шаг 1: Выбор замены

• Выберем u = x^2. Тогда g'(x) = 2x.

Шаг 2: Выполнение замены

• du = 2x dx, следовательно, dx = du / (2x).

Шаг 3: Подстановка в интеграл

• Теперь подставляем: ∫ (2x * e^(x^2)) dx = ∫ e^u du.

Шаг 4: Интегрирование

• Интеграл ∫ e^u du = e^u + C.

Шаг 5: Возврат к исходной переменной

• Теперь возвращаемся к x: e^(x^2) + C.

Таким образом, мы нашли неопределенный интеграл:

∫ (2x * e^(x^2)) dx = e^(x^2) + C.

Надеюсь, этот пример помог вам понять, как применять метод замены переменной для решения неопределенных интегралов!