Для решения неравенства 35. 9 - log (x - 3)4 16 ≤ 6 - log4 (x - 3)², начнем с упрощения обеих сторон неравенства.

Шаг 1: Перепишем неравенство.

Запишем неравенство в более удобной форме:

9 - log4 (x - 3) 16 ≤ 6 - log4 (x - 3)².

Шаг 2: Переносим все логарифмические выражения в одну часть неравенства.

Для этого добавим log4 (x - 3) 16 к обеим сторонам и 6 к обеим сторонам:

• 9 - 6 ≤ log4 (x - 3) 16 - log4 (x - 3)².

Это упрощается до:

• 3 ≤ log4 (x - 3) 16 - log4 (x - 3)².

Шаг 3: Используем свойства логарифмов.

Мы знаем, что loga b - loga c = loga (b/c). Применим это свойство:

• 3 ≤ log4 ((x - 3) 16 / (x - 3)²).

Это можно упростить до:

• 3 ≤ log4 (16 / (x - 3)).

Шаг 4: Перейдем к показательной форме.

Логарифмическое неравенство log4 (y) ≥ a эквивалентно y ≥ 4^a. В нашем случае:

• 16 / (x - 3) ≥ 4^3.

Теперь вычислим 4^3:

• 4^3 = 64.

Таким образом, мы имеем:

• 16 / (x - 3) ≥ 64.

Шаг 5: Умножим обе стороны неравенства на (x - 3).

Обратите внимание, что (x - 3) должно быть положительным, иначе знак неравенства изменится:

• 16 ≥ 64(x - 3).

Теперь делим обе стороны на 64:

• 16/64 ≥ x - 3.

Это упрощается до:

• 1/4 ≥ x - 3.

Или:

• x - 3 ≤ 1/4.

Теперь добавим 3 к обеим сторонам:

• x ≤ 3 + 1/4.

Таким образом, получаем:

• x ≤ 13/4.

Шаг 6: Учитываем область определения.

Не забудем, что x - 3 > 0, значит x > 3.

Таким образом, у нас есть два условия:

• x ≤ 13/4,
• x > 3.

Поскольку 13/4 = 3.25, то мы можем объединить условия:

• 3 < x ≤ 13/4.

Ответ: x принадлежит интервалу (3, 13/4].