Как решить неравенство: 7^(x^2 - 2x - 8 / x + 6) >= 1?

Математика 11 класс Неравенства с показательной функцией неравенство решение неравенства математика 11 класс 7^(x^2 - 2x - 8) x + 6 математические задачи алгебра неравенства с переменной Новый

Чтобы решить неравенство 7^(x^2 - 2x - 8 / x + 6) >= 1, начнем с анализа выражения в степени.

Неравенство 7^a >= 1 выполняется, когда a >= 0, так как основание 7 больше 1. Таким образом, нам нужно решить неравенство:

x^2 - 2x - 8 / (x + 6) >= 0

Теперь упростим выражение. Для этого найдем общий знаменатель:

1. Запишем неравенство в виде:

(x^2 - 2x - 8) / (x + 6) >= 0

2. Теперь найдем нули числителя:

Решим уравнение x^2 - 2x - 8 = 0.

Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -8.

3. Подставим значения:

x = (2 ± √((-2)^2 - 4 * 1 * (-8))) / (2 * 1)

4. Упростим подкоренное выражение:

x = (2 ± √(4 + 32)) / 2

x = (2 ± √36) / 2

5. Находим корни:

x = (2 ± 6) / 2

6. Таким образом, получаем два корня:
• x1 = 4
• x2 = -2

Теперь определим, где дробь (x^2 - 2x - 8) / (x + 6) меняет знак. Для этого найдем ноль знаменателя:

x + 6 = 0 => x = -6

Теперь у нас есть три критических точки: -6, -2, 4. Разделим числовую прямую на интервалы:

• (-∞, -6)
• (-6, -2)
• (-2, 4)
• (4, +∞)

Теперь проверим знак дроби на каждом интервале:

1. Для интервала (-∞, -6), например, возьмем x = -7:

(-7^2 - 2*(-7) - 8) / (-7 + 6) = (49 + 14 - 8) / (-1) = 55 / (-1) < 0

2. Для интервала (-6, -2), например, возьмем x = -4:

(-4^2 - 2*(-4) - 8) / (-4 + 6) = (16 + 8 - 8) / 2 = 16 / 2 > 0

3. Для интервала (-2, 4), например, возьмем x = 0:

(0^2 - 2*0 - 8) / (0 + 6) = -8 / 6 < 0

4. Для интервала (4, +∞), например, возьмем x = 5:

(5^2 - 2*5 - 8) / (5 + 6) = (25 - 10 - 8) / 11 = 7 / 11 > 0

Теперь подытожим знаки на интервалах:

• (-∞, -6): знак отрицательный
• (-6, -2): знак положительный
• (-2, 4): знак отрицательный
• (4, +∞): знак положительный

Неравенство (x^2 - 2x - 8) / (x + 6) >= 0 выполняется на интервалах (-6, -2) и (4, +∞). Не забываем, что x = -2 и x = 4 - это нули числителя, поэтому они включаются в решение, а x = -6 - это ноль знаменателя, следовательно, он не включается в решение.

Таким образом, окончательное решение неравенства:

x ∈ [-2, -6) ∪ [4, +∞)