Решите, пожалуйста, следующее неравенство:

1. 2^(-x^2 + 3x) < 4;
2. (7/9)^(2x^2 - 3x) ≥ 9/7

Буду благодарен за помощь!

Математика 11 класс Неравенства с показательной функцией неравенство математика 11 класс решить неравенство 2^(-x^2 + 3x) < 4 (7/9)^(2x^2 - 3x) ≥ 9/7 математические задачи решение неравенств Новый

Давайте решим каждое из неравенств по отдельности.

1. Решение неравенства: 2^(-x^2 + 3x) < 4

Сначала преобразим правую часть неравенства. Мы знаем, что 4 можно записать как 2 в степени 2:

• 4 = 2^2

Теперь мы можем переписать неравенство:

• 2^(-x^2 + 3x) < 2^2

Так как основание 2 положительное и больше 1, мы можем удалить основание и оставить неравенство без изменений:

• -x^2 + 3x < 2

Теперь перенесем 2 в левую часть:

• -x^2 + 3x - 2 < 0

Упрощаем выражение:

• -x^2 + 3x - 2 = -(x^2 - 3x + 2)

Теперь найдем корни квадратного уравнения x^2 - 3x + 2 = 0:

• Корни можно найти по формуле: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -3, c = 2.

Вычислим дискриминант:

• D = (-3)^2 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1.

Теперь найдем корни:

• x1 = (3 + 1) / 2 = 2
• x2 = (3 - 1) / 2 = 1

Теперь у нас есть корни x1 = 1 и x2 = 2. Мы можем построить интервал:

• (-∞, 1), (1, 2), (2, +∞)

Проверим знак на каждом из интервалов:

• Для x < 1 (например, x = 0): -0^2 + 3*0 - 2 = -2 < 0 (верно)
• Для 1 < x < 2 (например, x = 1.5): -1.5^2 + 3*1.5 - 2 = -0.25 < 0 (верно)
• Для x > 2 (например, x = 3): -3^2 + 3*3 - 2 = -2 < 0 (неверно)

Таким образом, решение неравенства:

• x ∈ (1, 2)

2. Решение неравенства: (7/9)^(2x^2 - 3x) ≥ 9/7

Сначала преобразим правую часть неравенства. Мы знаем, что 9/7 можно записать как (7/9)^(-1):

• 9/7 = (7/9)^(-1)

Теперь перепишем неравенство:

• (7/9)^(2x^2 - 3x) ≥ (7/9)^(-1)

Так как основание 7/9 положительное и меньше 1, мы меняем знак неравенства при удалении основания:

• 2x^2 - 3x ≤ -1

Переносим -1 в левую часть:

• 2x^2 - 3x + 1 ≤ 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения 2x^2 - 3x + 1 = 0:

• D = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1.

Находим корни:

• x1 = (3 + 1) / (2 * 2) = 1
• x2 = (3 - 1) / (2 * 2) = 0.5

Теперь у нас есть корни x1 = 0.5 и x2 = 1. Строим интервалы:

• (-∞, 0.5), (0.5, 1), (1, +∞)

Проверим знак на каждом из интервалов:

• Для x < 0.5 (например, x = 0): 2*0^2 - 3*0 + 1 = 1 > 0 (неверно)
• Для 0.5 < x < 1 (например, x = 0.75): 2*0.75^2 - 3*0.75 + 1 = -0.125 ≤ 0 (верно)
• Для x > 1 (например, x = 1.5): 2*1.5^2 - 3*1.5 + 1 = 0.5 > 0 (неверно)

Таким образом, решение неравенства:

• x ∈ [0.5, 1]

Итак, окончательные ответы:

• 1. x ∈ (1, 2)
• 2. x ∈ [0.5, 1]