Как решить неравенство: 9log(x^2+x-2) по основанию 7 меньше или равно 10+log((x-1)^9/x+2) по основанию 7?

Математика 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство решение неравенства логарифмы математика 11 класс логарифмическое неравенство x^2+x-2 основание 7 математические задачи подготовка к экзаменам Новый

Для решения неравенства 9log₇(x² + x - 2) ≤ 10 + log₇((x - 1)⁹/(x + 2)) начнем с преобразования логарифмических выражений.

1. Упростим левую часть неравенства:

• 9log₇(x² + x - 2) = log₇((x² + x - 2)⁹)

2. Упростим правую часть неравенства:

• 10 + log₇((x - 1)⁹/(x + 2)) = log₇(7¹⁰) + log₇((x - 1)⁹/(x + 2))
• По свойству логарифмов: log₇(a) + log₇(b) = log₇(a * b)
• Таким образом, получаем: log₇(7¹⁰ * (x - 1)⁹/(x + 2))

3. Теперь у нас есть неравенство:

log₇((x² + x - 2)⁹) ≤ log₇(7¹⁰ * (x - 1)⁹/(x + 2))

4. Поскольку логарифм - это возрастающая функция, мы можем убрать логарифмы, сохранив направление неравенства:

(x² + x - 2)⁹ ≤ 7¹⁰ * (x - 1)⁹/(x + 2)

5. Упростим это неравенство, умножив обе стороны на (x + 2) (при условии, что x + 2 > 0):

(x² + x - 2)⁹ (x + 2) ≤ 7¹⁰ (x - 1)⁹

6. Теперь рассмотрим, при каких значениях x выполняются условия:

• x² + x - 2 ≥ 0 (для логарифма)
• x - 1 > 0 (чтобы не делить на ноль)
• x + 2 > 0

7. Решим неравенство x² + x - 2 ≥ 0:

• Находим корни: D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
• Корни: x₁ = (-1 + 3)/2 = 1, x₂ = (-1 - 3)/2 = -2
• Неравенство выполняется при x ≤ -2 или x ≥ 1.

8. Теперь учитываем условия x - 1 > 0, что дает x > 1.

9. Объединяя условия, получаем, что x должно быть больше 1.

10. Теперь необходимо решить неравенство:

(x² + x - 2)⁹ (x + 2) ≤ 7¹⁰ (x - 1)⁹

Это неравенство может быть довольно сложным для аналитического решения, поэтому можно использовать численные методы или графический подход для нахождения решений.

11. Проверяем значения x, например, x = 2:

• Левая часть: (2² + 2 - 2)⁹ * (2 + 2) = (4)⁹ * 4 = 4¹⁰
• Правая часть: 7¹⁰ * (2 - 1)⁹ = 7¹⁰

12. Так как 4¹⁰ > 7¹⁰, то x = 2 не удовлетворяет неравенству.

13. Далее можно проверить другие значения x > 1 до нахождения решения.

Таким образом, окончательное решение неравенства требует проверки значений x в пределах, которые мы нашли.