Для решения неравенства Log |x| (15x - 18 - 2x^2) ≤ 2 нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем это по порядку.

1. Определим область определения:
   • Условие |x| > 0 означает, что x ≠ 0.
   • Логарифм определен только для положительных значений, поэтому 15x - 18 - 2x^2 > 0.
2. Решим неравенство 15x - 18 - 2x^2 > 0:
   • Перепишем его в стандартной форме: -2x^2 + 15x - 18 > 0.
   • Умножим неравенство на -1 (не забываем поменять знак неравенства): 2x^2 - 15x + 18 < 0.
   • Теперь найдем корни квадратного уравнения 2x^2 - 15x + 18 = 0 с помощью дискриминанта:
   • Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 * 2 * 18 = 225 - 144 = 81.
   • Корни: x1 = (15 + √81) / (2 * 2) = (15 + 9) / 4 = 6, x2 = (15 - √81) / (2 * 2) = (15 - 9) / 4 = 1.5.
   • Теперь исследуем знаки квадратичной функции 2x^2 - 15x + 18. Она будет меньше нуля между корнями:
   • Интервал: (1.5, 6).
3. Теперь вернемся к нашему неравенству:
   • Мы уже знаем, что |x| > 0 и 15x - 18 - 2x^2 > 0 на интервале (1.5, 6).
   • Теперь подставим это в логарифм: Log |x| (15x - 18 - 2x^2) ≤ 2.
4. Решим неравенство логарифма:
   • Неравенство Log |x| (15x - 18 - 2x^2) ≤ 2 можно переписать в экспоненциальной форме:
   • 15x - 18 - 2x^2 ≤ |x|^2.
5. Решим это неравенство:
   • Перепишем его: 2x^2 + |x|^2 - 15x + 18 ≥ 0.
   • Поскольку |x|^2 = x^2, то получим: 3x^2 - 15x + 18 ≥ 0.
   • Решим это квадратное неравенство аналогично, найдем дискриминант:
   • D = (-15)^2 - 4 * 3 * 18 = 225 - 216 = 9.
   • Корни: x1 = (15 + √9) / (2 * 3) = 6, x2 = (15 - √9) / (2 * 3) = 3.
   • Исследуем знаки: (-∞, 3] ∪ [6, +∞).
6. Объединим результаты:
   • Решение первого неравенства: (1.5, 6).
   • Решение второго неравенства: (-∞, 3] ∪ [6, +∞).
   • Пересечение: (1.5, 3].

Таким образом, окончательное решение неравенства Log |x| (15x - 18 - 2x^2) ≤ 2 будет:

x ∈ (1.5, 3].