Как решить неравенство:

log2(x² + 7x + 10) < -2?

Пожалуйста, помогите!

Математика 11 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства логарифмы математика 11 класс неравенство log2 x² + 7x + 10 Новый

Чтобы решить неравенство log2(x² + 7x + 10) < -2, следуем следующим шагам:

1. Переписываем логарифмическое неравенство в экспоненциальной форме:
• Неравенство log2(y) < -2 эквивалентно y < 2^(-2).
• Таким образом, мы получаем: x² + 7x + 10 < 1/4.
2. Переносим 1/4 в левую часть:
• Получаем: x² + 7x + 10 - 1/4 < 0.
• Приводим к общему знаменателю: x² + 7x + 40/4 - 1/4 < 0.
• Это упрощается до: x² + 7x + 39/4 < 0.
3. Умножаем все на 4, чтобы избавиться от дробей:
• Получаем: 4x² + 28x + 39 < 0.
4. Решаем квадратное неравенство:
• Сначала найдем дискриминант D:
• D = b² - 4ac = 28² - 4 * 4 * 39 = 784 - 624 = 160.
• Теперь находим корни квадратного уравнения 4x² + 28x + 39 = 0:
• x1,2 = (-b ± √D) / (2a) = (-28 ± √160) / 8.
• √160 можно упростить: √160 = 4√10, тогда:
• x1 = (-28 + 4√10) / 8 = -3.5 + 0.5√10,
• x2 = (-28 - 4√10) / 8 = -3.5 - 0.5√10.
5. Определяем промежутки:
• Квадратное неравенство 4x² + 28x + 39 < 0 будет иметь решение между корнями.
• Таким образом, решение будет в промежутке (-3.5 - 0.5√10, -3.5 + 0.5√10).
6. Проверяем, что выражение под логарифмом положительно:
• Нам нужно, чтобы x² + 7x + 10 > 0 для всех x, так как это квадратное выражение имеет положительный дискриминант и открыто вверх.

Таким образом, окончательный ответ на неравенство log2(x² + 7x + 10) < -2 будет:

x ∈ (-3.5 - 0.5√10, -3.5 + 0.5√10).