Как решить следующие уравнения с логарифмами?

1. log, 2x-log, 2 = log(2x-1)
2. log3(4x+8) - log3 2 = log(x+5)
3. In(x² - 2x) - Inx = ln(2x-5)
4. lg(x²-4) 1g(2+x) = 1g(3x-8)
5. 1g2lg(x + 1) = lg 3 − 1g(x + 2)
6. log5(x+4)-logs 2 = log5(x-3)
7. log, 28-log7(x+4)= log, 4
8. log47 - log4(2x+1)= log4 14
9. 2log2x-log2 4 = log(2x-4)

Математика 11 класс Логарифмы логарифмы решение уравнений математика логарифмические уравнения примеры логарифмов свойства логарифмов Новый

Решение уравнений с логарифмами требует использования свойств логарифмов и внимательного анализа условий, при которых логарифмы определены. Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди.

1. log2(2x) - log2(2) = log2(2x - 1)

• Используем свойство логарифмов: loga(b) - loga(c) = loga(b/c).
• Получаем: log2(2x/2) = log2(2x - 1).
• Сокращаем: log2(x) = log2(2x - 1).
• Приравниваем аргументы: x = 2x - 1.
• Решаем уравнение: x = 1.
• Проверяем: 2x - 1 > 0, x > 0, что выполняется.

2. log3(4x + 8) - log3(2) = log3(x + 5)

• Используем свойство: loga(b) - loga(c) = loga(b/c).
• Получаем: log3((4x + 8)/2) = log3(x + 5).
• Сокращаем: log3(2x + 4) = log3(x + 5).
• Приравниваем аргументы: 2x + 4 = x + 5.
• Решаем: x = 1.
• Проверяем: 4x + 8 > 0, x + 5 > 0, что выполняется.

3. ln(x² - 2x) - ln(x) = ln(2x - 5)

• Используем свойство: ln(a) - ln(b) = ln(a/b).
• Получаем: ln((x² - 2x)/x) = ln(2x - 5).
• Сокращаем: ln(x - 2) = ln(2x - 5).
• Приравниваем аргументы: x - 2 = 2x - 5.
• Решаем: x = 3.
• Проверяем: x² - 2x > 0, 2x - 5 > 0, что выполняется.

4. lg(x² - 4) + lg(2 + x) = lg(3x - 8)

• Используем свойство: lg(a) + lg(b) = lg(ab).
• Получаем: lg((x² - 4)(2 + x)) = lg(3x - 8).
• Приравниваем аргументы: (x² - 4)(2 + x) = 3x - 8.
• Раскрываем скобки и упрощаем: x³ - 2x² - 8 = 3x - 8.
• Решаем: x³ - 2x² - 3x = 0.
• Факторизуем: x(x² - 2x - 3) = 0, x = 0 или (x - 3)(x + 1) = 0.
• Решения: x = 0, x = 3, x = -1. Проверяем допустимость.

5. lg(2lg(x + 1)) = lg(3) - lg(x + 2)

• Используем свойства логарифмов: lg(a) - lg(b) = lg(a/b).
• Получаем: lg(2lg(x + 1)) = lg(3/(x + 2)).
• Приравниваем аргументы: 2lg(x + 1) = 3/(x + 2).
• Умножаем обе стороны на (x + 2): 2lg(x + 1)(x + 2) = 3.
• Решаем уравнение, подставляя значения и проверяя допустимость.

6. log5(x + 4) - log5(2) = log5(x - 3)

• Используем свойство: loga(b) - loga(c) = loga(b/c).
• Получаем: log5((x + 4)/2) = log5(x - 3).
• Приравниваем аргументы: (x + 4)/2 = x - 3.
• Решаем: x + 4 = 2x - 6, x = 10.
• Проверяем: x + 4 > 0, x - 3 > 0, что выполняется.

7. log7(28) - log7(x + 4) = log7(4)

• Используем свойство: loga(b) - loga(c) = loga(b/c).
• Получаем: log7(28/(x + 4)) = log7(4).
• Приравниваем аргументы: 28/(x + 4) = 4.
• Решаем: 28 = 4(x + 4), x = 3.
• Проверяем: x + 4 > 0, что выполняется.

8. log4(7) - log4(2x + 1) = log4(14)

• Используем свойство: loga(b) - loga(c) = loga(b/c).
• Получаем: log4(7/(2x + 1)) = log4(14).
• Приравниваем аргументы: 7/(2x + 1) = 14.
• Решаем: 7 = 14(2x + 1), x = -1.
• Проверяем: 2x + 1 > 0, что не выполняется.

9. 2log2(x) - log2(4) = log2(2x - 4)

• Используем свойства логарифмов: 2log2(x) = log2(x²) и log2(4) = 2.
• Получаем: log2(x²) - 2 = log2(2x - 4).
• Приравниваем аргументы: x²/4 = 2x - 4.
• Решаем: x² - 8x + 16 = 0, (x - 4)² = 0, x = 4.
• Проверяем: 2x - 4 > 0, что выполняется.

Таким образом, мы рассмотрели все уравнения, применив свойства логарифмов и проверив условия их существования. Важно помнить, что при решении логарифмических уравнений необходимо всегда проверять, чтобы аргументы логарифмов были положительными.