Давайте разберем каждую из задач по порядку.

Задача 1: Решить уравнение y" - 7y' + 10y = 0 с начальными условиями y(0) = 3 и y'(0) = -1.

1. Сначала мы находим характеристическое уравнение. Для этого мы подставим y = e^(rt), где r - корень характеристического уравнения. Получаем:
• r² - 7r + 10 = 0.
2. Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней:
• r = (7 ± √(7² - 4*1*10)) / (2*1) = (7 ± √(49 - 40)) / 2 = (7 ± √9) / 2 = (7 ± 3) / 2.
3. Таким образом, у нас есть два корня:
• r1 = (7 + 3) / 2 = 5,
• r2 = (7 - 3) / 2 = 2.
4. Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:
• y(t) = C1 * e^(5t) + C2 * e^(2t),
5. где C1 и C2 - произвольные постоянные.
6. Теперь подставим начальные условия для нахождения C1 и C2. Подставляем t = 0:
• y(0) = C1 * e^(0) + C2 * e^(0) = C1 + C2 = 3.
7. Теперь найдем y'(t):
• y'(t) = 5C1 * e^(5t) + 2C2 * e^(2t).
8. Подставляем t = 0:
• y'(0) = 5C1 + 2C2 = -1.
9. Теперь у нас есть система уравнений:
• C1 + C2 = 3,
• 5C1 + 2C2 = -1.
10. Решим эту систему. Из первого уравнения выразим C2:
• C2 = 3 - C1.
11. Подставим C2 во второе уравнение:
• 5C1 + 2(3 - C1) = -1,
• 5C1 + 6 - 2C1 = -1,
• 3C1 + 6 = -1,
• 3C1 = -7,
• C1 = -7/3.
12. Теперь подставим C1 обратно в первое уравнение:
• -7/3 + C2 = 3,
• C2 = 3 + 7/3 = 9/3 + 7/3 = 16/3.
13. Таким образом, мы нашли C1 и C2:
• C1 = -7/3,
• C2 = 16/3.
14. Итак, окончательное решение:
• y(t) = (-7/3)e^(5t) + (16/3)e^(2t).

Задача 2: Решить уравнение y" + 18y' + 81y = 0.

1. Сначала найдем характеристическое уравнение:
• r² + 18r + 81 = 0.
2. Решим его с помощью формулы для нахождения корней:
• r = (-18 ± √(18² - 4*1*81)) / (2*1) = (-18 ± √(324 - 324)) / 2 = (-18 ± √0) / 2 = -18 / 2 = -9.
3. У нас есть один корень, который имеет кратность 2, т.е. r1 = r2 = -9.
4. Общее решение уравнения при двойном корне имеет вид:
• y(t) = (C1 + C2 * t)e^(-9t),
5. где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Таким образом, мы решили обе задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!