Как решить уравнение B) x²-4x-2|x-2|+1 = 0?

Математика 11 класс Уравнения с модулями уравнение решение уравнения математика 11 класс квадратное уравнение модульное уравнение алгебра математические задачи нахождение корней методы решения уравнений

Чтобы решить уравнение x² - 4x - 2|x - 2| + 1 = 0, нужно учитывать модуль, так как его значение зависит от того, больше или меньше x, чем 2. Поэтому мы разобьем решение на два случая.

1. Случай 1: x ≥ 2

В этом случае |x - 2| = x - 2. Подставим это в уравнение:

x² - 4x - 2(x - 2) + 1 = 0

Упростим уравнение:

• x² - 4x - 2x + 4 + 1 = 0
• x² - 6x + 5 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-6)² - 4*1*5 = 36 - 20 = 16
• Корни уравнения находятся по формуле: x = (-b ± √D) / 2a
• x = (6 ± 4) / 2
• x₁ = (6 + 4) / 2 = 10 / 2 = 5
• x₂ = (6 - 4) / 2 = 2 / 2 = 1

Из этих корней, только x₁ = 5 удовлетворяет условию x ≥ 2.

2. Случай 2: x < 2

В этом случае |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x. Подставим это в уравнение:

x² - 4x - 2(2 - x) + 1 = 0

Упростим уравнение:

• x² - 4x - 4 + 2x + 1 = 0
• x² - 2x - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-2)² - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16
• Корни уравнения: x = (2 ± 4) / 2
• x₁ = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
• x₂ = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Из этих корней, только x₂ = -1 удовлетворяет условию x < 2.

Итак, окончательные решения уравнения:

• x = 5 (для случая x ≥ 2)
• x = -1 (для случая x < 2)

Ответ: x = 5 и x = -1.

Для решения уравнения x² - 4x - 2|x - 2| + 1 = 0 необходимо учитывать модуль, так как его значение зависит от того, больше или меньше x чем 2. Поэтому мы рассмотрим два случая: когда x ≥ 2 и когда x < 2.

1. Случай 1: x ≥ 2
• В этом случае модуль можно убрать, заменив |x - 2| на x - 2.
• Уравнение примет вид: x² - 4x - 2(x - 2) + 1 = 0.
• Упростим уравнение:
• x² - 4x - 2x + 4 + 1 = 0
• x² - 6x + 5 = 0
• Теперь мы можем решить квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
• D = b² - 4ac = (-6)² - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16.
• Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня:
• x₁ = (6 + √16)/2 = (6 + 4)/2 = 5,
• x₂ = (6 - √16)/2 = (6 - 4)/2 = 1.
• Однако, так как мы рассматриваем случай x ≥ 2, то единственным решением в этом случае будет x = 5.
2. Случай 2: x < 2
• В этом случае модуль можно убрать, заменив |x - 2| на или 2 - x.
• Уравнение примет вид: x² - 4x - 2(2 - x) + 1 = 0.
• Упростим уравнение:
• x² - 4x - 4 + 2x + 1 = 0
• x² - 2x - 3 = 0
• Теперь найдем дискриминант:
• D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.
• Так как дискриминант также положительный, у уравнения два различных корня:
• x₁ = (2 + √16)/2 = (2 + 4)/2 = 3,
• x₂ = (2 - √16)/2 = (2 - 4)/2 = -1.
• Так как мы рассматриваем случай x < 2, то единственным решением в этом случае будет x = -1.

Итак, окончательные решения уравнения:

• x = 5 (для x ≥ 2),
• x = -1 (для x < 2).