Как решить уравнение: (lg√(x+7) - lg2) / (lg8 - lg(x+5)) = -1?

Математика 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы математика 11 класс lg алгебра X+7 x+5 уравнение с логарифмами Новый

Для решения уравнения (lg√(x+7) - lg2) / (lg8 - lg(x+5)) = -1 нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Упростим уравнение. Начнем с того, что мы можем выразить логарифмы через их свойства. Используем свойство логарифмов: lg(a) - lg(b) = lg(a/b). Применим это к числителю и знаменателю.
2. Изменим числитель:
   • lg√(x+7) = lg((x+7)^(1/2)) = (1/2)lg(x+7).

   Таким образом, числитель можно переписать так:

   (1/2)lg(x+7) - lg2.

3. Теперь числитель:
   • lg8 - lg(x+5) = lg(8/(x+5)).

   Теперь уравнение выглядит так:

   (1/2)lg(x+7) - lg2 = -1 * lg(8/(x+5)).

4. Умножим обе стороны на (lg(8/(x+5))) и упростим:
   • lg(8/(x+5)) = -((1/2)lg(x+7) - lg2).
5. Перепишем уравнение:
   • lg(8/(x+5)) = -1/2 lg(x+7) + lg2.

   Теперь мы можем использовать свойства логарифмов, чтобы избавиться от логарифмов.

6. Применим экспоненту:
   • 8/(x+5) = 2 * (x+7)^(-1/2).
7. Умножим обе стороны на (x+5) и (x+7)^(1/2):
   • 8(x+7)^(1/2) = 2(x+5)(x+7)^(-1/2).
8. Решим полученное уравнение:
   • 8√(x+7) = 2(x+5)(1/√(x+7)).
   • 8(x+7) = 2(x+5).
   • 8x + 56 = 2x + 10.
   • 6x = -46.
   • x = -46/6 = -23/3.
9. Проверим, подходит ли найденное значение:
   • Подставим x = -23/3 в исходное уравнение и проверим, что все логарифмы определены.

Таким образом, мы находим, что x = -23/3 является решением данного уравнения. Не забудьте проверить, что все логарифмы в уравнении определены, то есть аргументы логарифмов должны быть положительными.