Чтобы решить уравнение log_(1/2)(x) = log_(0.2)(35) - 2 log_(0.2)(25 sqrt(7)), начнем с упрощения правой части уравнения.

1. Рассмотрим правую часть: log_(0.2)(35) - 2 log_(0.2)(25 sqrt(7)).

2. Используем свойство логарифмов: a * log_b(c) = log_b(c^a). Таким образом, 2 log_(0.2)(25 sqrt(7)) можно переписать как log_(0.2)((25 sqrt(7))^2).

3. Теперь вычислим (25 sqrt(7))^2:

• (25 sqrt(7))^2 = 25^2 * (sqrt(7))^2 = 625 * 7 = 4375.

4. Теперь можем переписать правую часть уравнения:

log_(0.2)(35) - log_(0.2)(4375).

5. Используем еще одно свойство логарифмов: log_b(a) - log_b(c) = log_b(a/c). Таким образом, получаем:

log_(0.2)(35/4375).

6. Теперь упростим дробь 35/4375:

• 35 = 5 * 7,
• 4375 = 5^4 * 7.

Таким образом, 35/4375 = (5 * 7) / (5^4 * 7) = 1 / (5^3) = 1 / 125.

7. Теперь правая часть уравнения выглядит так:

log_(0.2)(1/125).

8. Поскольку 0.2 = 1/5, можно переписать логарифм:

log_(0.2)(1/125) = log_(1/5)(1/125).

9. Используем свойство логарифмов: log_b(a) = -log_b(1/a), и получаем:

log_(1/5)(1/125) = -log_(1/5)(125).

10. Заметим, что 125 = 5^3, тогда log_(1/5)(125) = log_(1/5)(5^3) = 3.

11. Таким образом, -log_(1/5)(125) = -3.

12. Теперь у нас есть уравнение:

log_(1/2)(x) = -3.

13. Переписываем это уравнение в экспоненциальной форме:

x = (1/2)^(-3).

14. Поскольку (1/2)^(-3) = 2^3 = 8, получаем:

x = 8.

Итак, решением уравнения является: