Как решить уравнение: log*2(x-3)+2log*4(13+x)=3log*½1/8?

Математика 11 класс Логарифмы решение уравнения логарифмические уравнения математика 11 класс логарифмы уравнения с логарифмами Новый

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. Уравнение выглядит следующим образом:

log₂(x-3) + 2log₄(13+x) = 3log_1/2(1/8)

1. Начнем с преобразования логарифмов. Вспомним, что log_a(b) можно выразить через другой логарифм:

• log₄(13+x) = log₂(13+x) / log₂(4) = log₂(13+x) / 2
• log_1/2(1/8) = log₂(1/8) / log₂(1/2) = -3 / -1 = 3

2. Теперь подставим эти преобразования в уравнение:

log₂(x-3) + 2 * (log₂(13+x) / 2) = 3 * 3

Это упрощается до:

log₂(x-3) + log₂(13+x) = 9

3. Используем свойство логарифмов, что log_a(b) + log_a(c) = log_a(b*c):

log₂((x-3)(13+x)) = 9

4. Теперь преобразуем уравнение в экспоненциальную форму:

(x-3)(13+x) = 2⁹

5. Вычисляем 2⁹:

2⁹ = 512

6. Теперь у нас есть уравнение:

(x-3)(13+x) = 512

7. Раскроем скобки:

x² + 10x - 39 = 512

8. Переносим 512 в левую часть уравнения:

x² + 10x - 551 = 0

9. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b² - 4ac:

• a = 1
• b = 10
• c = -551

D = 10² - 4 * 1 * (-551) = 100 + 2204 = 2304

10. Теперь находим корни уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (-10 ± √2304) / 2

11. Вычисляем √2304:

√2304 = 48

12. Подставляем значение в формулу:

x = (-10 + 48) / 2 = 38 / 2 = 19

x = (-10 - 48) / 2 = -58 / 2 = -29

13. Теперь у нас есть два корня: x = 19 и x = -29. Однако, поскольку мы работаем с логарифмами, необходимо проверить, подходят ли эти значения под условия логарифмов:

- Для x = 19: log₂(19-3) = log₂(16) (подходит, так как 16 > 0) и log₄(13+19) = log₄(32) (также подходит).

- Для x = -29: log₂(-29-3) = log₂(-32) (не подходит, так как -32 < 0).

14. Таким образом, единственным решением уравнения является:

x = 19