Как решить уравнение: log^3(2x) - 3log^3(x) - 10 = 0?

Математика 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения Логарифмическое уравнение математика 11 класс log^3(2x) log^3(x) уравнения с логарифмами Новый

Для решения уравнения log^3(2x) - 3log^3(x) - 10 = 0 начнем с замены переменной, чтобы упростить выражение.

Обозначим y = log(x). Тогда мы можем выразить log(2x) через y:

• log(2x) = log(2) + log(x) = log(2) + y.

Теперь подставим это в уравнение:

• log(2x) = log(2) + y, следовательно, log^3(2x) = (log(2) + y)^3.

Раскроем куб:

• (log(2) + y)^3 = log^3(2) + 3log^2(2)y + 3log(2)y^2 + y^3.

Теперь подставим это в уравнение:

• log^3(2) + 3log^2(2)y + 3log(2)y^2 + y^3 - 3y^3 - 10 = 0.

Соберем все члены:

• y^3 + 3log(2)y^2 + 3log^2(2)y + log^3(2) - 10 = 0.

Теперь у нас есть кубическое уравнение относительно y. Решим его с помощью формулы корней кубического уравнения или численно, если это необходимо.

После нахождения корней y (которые могут быть как действительными, так и комплексными), мы вернемся к переменной x, используя обратное преобразование:

• x = 10^y.

Не забудьте проверить найденные значения x на допустимость, так как логарифм определен только для положительных значений.

Таким образом, мы получим все возможные решения уравнения log^3(2x) - 3log^3(x) - 10 = 0.