Как решить уравнение у"+5у'+4у?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения решение уравнения математика 11 класс уравнение у"+5у'+4у методы решения уравнений алгебраические уравнения математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение второго порядка у'' + 5у' + 4у = 0, мы будем использовать метод характеристического уравнения. Давайте пройдемся по шагам:

1. Запишите характеристическое уравнение. Для уравнения у'' + 5у' + 4у = 0 характеристическое уравнение имеет вид:
• r^2 + 5r + 4 = 0
2. Решите характеристическое уравнение. Мы можем использовать дискриминант для нахождения корней:
• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9.
• Корни уравнения находятся по формуле: r = (-b ± √D) / (2a).
• Подставляем значения: r1 = (-5 + √9) / 2 = (-5 + 3) / 2 = -1 и r2 = (-5 - √9) / 2 = (-5 - 3) / 2 = -4.
3. Запишите общее решение уравнения. Так как у нас два различных корня, общее решение имеет вид:
• у(t) = C1 * e^(r1 * t) + C2 * e^(r2 * t),
• где C1 и C2 - произвольные постоянные, а r1 и r2 - найденные корни.
4. Подставьте найденные корни в общее решение. Мы получаем:
• у(t) = C1 * e^(-1 * t) + C2 * e^(-4 * t).

Таким образом, общее решение уравнения у'' + 5у' + 4у = 0 будет:

у(t) = C1 * e^(-t) + C2 * e^(-4t),

где C1 и C2 - произвольные константы, которые определяются начальными условиями, если они заданы.