Чтобы решить уравнение xf'(x) = 2f(x), нам нужно сначала найти производную функции f(x) = x^3 ln x.

Для этого воспользуемся правилом произведения. Мы можем записать f(x) как произведение двух функций: u(x) = x^3 и v(x) = ln x. Тогда производная f'(x) будет равна:

1. u'(x) = 3x^2 (производная x^3)
2. v'(x) = 1/x (производная ln x)
3. Теперь применим правило произведения: f'(x) = u'v + uv'
4. Подставим найденные производные:
5. f'(x) = (3x^2)(ln x) + (x^3)(1/x) = 3x^2 ln x + x^2

Теперь подставим f(x) и f'(x) в уравнение xf'(x) = 2f(x).

Сначала выразим xf'(x):

• xf'(x) = x(3x^2 ln x + x^2) = 3x^3 ln x + x^3

Теперь выразим 2f(x):

• 2f(x) = 2(x^3 ln x) = 2x^3 ln x

Теперь у нас есть уравнение:

Упростим его:

• Переносим все в одну сторону:
• 3x^3 ln x + x^3 - 2x^3 ln x = 0
• Соберем подобные:
• (3 ln x - 2 ln x + 1)x^3 = 0
• (ln x + 1)x^3 = 0

Теперь это уравнение равно нулю, когда либо x^3 = 0, что дает x = 0, либо ln x + 1 = 0, что приводит к:

• ln x = -1
• x = e^{-1} = 1/e

Таким образом, решение уравнения xf'(x) = 2f(x) будет равно x = 1/e.

Ответ: A) 1/e