Для решения уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как y" + 16y = 7cos(3x), мы будем использовать метод вариации параметров. Этот метод включает два основных этапа: нахождение общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Сначала мы решим однородное уравнение:

y" + 16y = 0.

Характеристическое уравнение будет выглядеть так:

r^2 + 16 = 0.

Решим это уравнение:

• r^2 = -16
• r = ±4i.

Поскольку корни комплексные, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = C1 * cos(4x) + C2 * sin(4x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь мы найдем частное решение для уравнения:

y" + 16y = 7cos(3x).

Поскольку правая часть - это cos(3x), мы попробуем взять частное решение в виде:

y_p = A * cos(3x) + B * sin(3x),

где A и B - коэффициенты, которые нужно найти.

Теперь найдем производные:

• y_p' = -3A * sin(3x) + 3B * cos(3x),
• y_p'' = -9A * cos(3x) - 9B * sin(3x).

Подставим y_p и его производные в неоднородное уравнение:

-9A * cos(3x) - 9B * sin(3x) + 16(A * cos(3x) + B * sin(3x)) = 7cos(3x).

Соберем подобные члены:

(-9A + 16A) * cos(3x) + (-9B + 16B) * sin(3x) = 7cos(3x).

Это дает систему уравнений:

• (7A) = 7,
• (7B) = 0.

Решив эту систему, получаем:

• A = 1,
• B = 0.

Таким образом, частное решение:

y_p = cos(3x).

Теперь мы можем записать полное решение нашего уравнения:

y = y_h + y_p = C1 * cos(4x) + C2 * sin(4x) + cos(3x).

Это и есть общее решение уравнения y" + 16y = 7cos(3x).