Как составить уравнения касательных к графику функции y=x^4 - 2x^2 - 8 в тех точках, где график пересекает ось абсцисс? После этого, как найти точку пересечения этих касательных?

Математика 11 класс Касательные к графикам функций уравнения касательных график функции пересечение оси абсцисс точка пересечения касательных математика 11 класс Новый

Чтобы составить уравнения касательных к графику функции y = x^4 - 2x^2 - 8 в точках, где график пересекает ось абсцисс, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения графика с осью абсцисс: Это означает, что нужно решить уравнение:
• y = 0, то есть x^4 - 2x^2 - 8 = 0.
2. Перепишем уравнение: Введем замену z = x^2. Тогда уравнение примет вид:
• z^2 - 2z - 8 = 0.
3. Решим это квадратное уравнение: Используем формулу корней квадратного уравнения:
• z = (2 ± √(2^2 + 4 * 8)) / 2 = (2 ± √36) / 2 = (2 ± 6) / 2.
• Таким образом, z1 = 4 и z2 = -2.
4. Вернемся к переменной x: Поскольку z = x^2, то:
• x^2 = 4 → x = ±2.
• x^2 = -2 не имеет действительных корней.
5. Таким образом, точки пересечения графика с осью абсцисс: x = 2 и x = -2.
6. Найдем производную функции: Это нужно для нахождения углового коэффициента касательной:
• y' = 4x^3 - 4x.
7. Найдем угловые коэффициенты касательных в точках x = 2 и x = -2:
• Для x = 2: y'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24.
• Для x = -2: y'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24.
8. Теперь найдем уравнения касательных: Уравнение касательной имеет вид:
• y - y0 = m(x - x0), где m - угловой коэффициент, (x0, y0) - точка касания.
• Для x = 2: y0 = (2)^4 - 2(2)^2 - 8 = 16 - 8 - 8 = 0.
• Уравнение касательной: y - 0 = 24(x - 2) → y = 24x - 48.
• Для x = -2: y0 = (-2)^4 - 2(-2)^2 - 8 = 16 - 8 - 8 = 0.
• Уравнение касательной: y - 0 = -24(x + 2) → y = -24x - 48.

Теперь у нас есть два уравнения касательных:

• y = 24x - 48
• y = -24x - 48

Теперь найдем точку их пересечения:

1. Приравняем уравнения касательных:
• 24x - 48 = -24x - 48.
2. Решим это уравнение:
• 24x + 24x = 48.
• 48x = 48 → x = 1.
3. Теперь подставим x = 1 в одно из уравнений, чтобы найти y:
• y = 24(1) - 48 = 24 - 48 = -24.
4. Таким образом, точка пересечения касательных: (1, -24).

В итоге, мы нашли уравнения касательных и точку их пересечения:

• Касательные: y = 24x - 48 и y = -24x - 48.
• Точка пересечения: (1, -24).