Сформулируйте уравнение касательной к графику функции y=√x, которая будет параллельна прямой y=x-2.

Математика 11 класс Касательные к графикам функций Уравнение касательной график функции y=√x параллельная прямая y=x-2 математика 11 класс Новый

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции y=√x, которая будет параллельна прямой y=x-2, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Определим угол наклона прямой. Прямая y=x-2 имеет угол наклона 1, так как её уравнение можно записать в виде y=kx+b, где k - это угол наклона. В нашем случае k=1.
2. Найдем производную функции y=√x. Производная функции показывает угол наклона касательной к графику функции в любой точке. Для функции y=√x производная будет равна:
   • y' = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x).
3. Приравняем производную к углу наклона прямой. Мы хотим, чтобы касательная была параллельна прямой, поэтому приравняем производную к 1:
   • 1/(2√x) = 1.
4. Решим уравнение для x. Умножим обе стороны на 2√x:
   • 1 = 2√x.
   Теперь возведем обе стороны в квадрат:
   • 1 = 4x.
   Следовательно:
   • x = 1/4.
5. Найдем y, подставив x в исходную функцию. Теперь мы можем найти соответствующее значение y:
   • y = √(1/4) = 1/2.
6. Теперь у нас есть точка касания. Мы нашли точку касания (1/4, 1/2). Теперь мы можем использовать точку и угол наклона, чтобы найти уравнение касательной:
   • Используем уравнение касательной: y - y0 = k(x - x0), где (x0, y0) - точка касания, а k - угол наклона.
   • Подставляем значения: y - 1/2 = 1(x - 1/4).
7. Упростим уравнение касательной. Раскроем скобки:
   • y - 1/2 = x - 1/4.
   • y = x - 1/4 + 1/2.
   • y = x + 1/4.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=√x, которая будет параллельна прямой y=x-2, имеет вид:

y = x + 1/4.