Как упростить выражение cos^4 альфа - sin^4 альфа и доказать, что оно равно cos^2 альфа - sin^2 альфа?

Математика 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения cos^4 альфа sin^4 альфа доказательство тождества cos^2 альфа sin^2 альфа математика 11 класс Новый

Чтобы упростить выражение cos^4 альфа - sin^4 альфа, мы можем воспользоваться формулой разности квадратов. Эта формула гласит, что a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). В нашем случае, a = cos^2 альфа и b = sin^2 альфа.

Теперь перепишем наше выражение, используя эту формулу:

• cos^4 альфа - sin^4 альфа = (cos^2 альфа)^2 - (sin^2 альфа)^2
• Применяем формулу разности квадратов:
• (cos^2 альфа - sin^2 альфа)(cos^2 альфа + sin^2 альфа)

Теперь нам нужно упростить вторую часть выражения: cos^2 альфа + sin^2 альфа. По основному тригонометрическому тождеству мы знаем, что:

• cos^2 альфа + sin^2 альфа = 1

Подставим это значение обратно в наше выражение:

• (cos^2 альфа - sin^2 альфа)(1)
• Это просто равно cos^2 альфа - sin^2 альфа.

Таким образом, мы получили, что:

cos^4 альфа - sin^4 альфа = cos^2 альфа - sin^2 альфа.

Итак, мы доказали, что данное выражение действительно равно cos^2 альфа - sin^2 альфа.