Как упростить выражение (sin2a - cosa) / (2sina - 1) и доказать тождество cos(a - b) + sin(-a) * sin(-b) = cosa * cosb?

Математика 11 класс Тригонометрические тождества Упрощение выражения тождество косинуса и синуса математика 11 класс тригонометрические функции доказательство тождества Новый

Давайте начнем с упрощения выражения (sin2a - cosa) / (2sina - 1).

Шаг 1: Упростим числитель.

В числителе у нас есть sin2a. Мы знаем, что sin2a можно выразить через формулу двойного угла:

sin2a = 2sina * cosa.

Таким образом, мы можем переписать числитель:

• sin2a - cosa = 2sina * cosa - cosa = cosa(2sina - 1).

Шаг 2: Упростим знаменатель.

Знаменатель у нас уже записан как (2sina - 1).

Шаг 3: Подставим упрощения в выражение.

Теперь подставим упрощенный числитель и знаменатель в исходное выражение:

• (sin2a - cosa) / (2sina - 1) = (cosa(2sina - 1)) / (2sina - 1).

Шаг 4: Упростим выражение.

Если 2sina - 1 не равно нулю (то есть sina не равно 1/2), то мы можем сократить (2sina - 1) в числителе и знаменателе:

• (cosa(2sina - 1)) / (2sina - 1) = cosa.

Таким образом, мы получили, что (sin2a - cosa) / (2sina - 1) = cosa при условии, что 2sina - 1 не равно нулю.

Теперь перейдем к доказательству тождества cos(a - b) + sin(-a) * sin(-b) = cosa * cosb.

Шаг 1: Вспомним формулы для косинуса и синуса.

Мы знаем, что:

• sin(-x) = -sin(x),
• cos(-x) = cos(x).

Шаг 2: Подставим значения.

Теперь подставим sin(-a) и sin(-b) в наше тождество:

• cos(a - b) + sin(-a) * sin(-b) = cos(a - b) - sin(a) * sin(b).

Шаг 3: Используем формулу для косинуса разности.

Согласно формуле косинуса разности:

• cos(a - b) = cosa * cosb + sina * sinb.

Теперь мы можем переписать наше выражение:

• cos(a - b) - sin(a) * sin(b) = (cosa * cosb + sina * sinb) - sin(a) * sin(b).

Шаг 4: Упростим выражение.

Теперь, если мы упростим это, получим:

• cosa * cosb + sina * sinb - sin(a) * sin(b) = cosa * cosb.

Таким образом, мы доказали, что:

• cos(a - b) + sin(-a) * sin(-b) = cosa * cosb.

Итак, мы успешно упростили данное выражение и доказали тождество!