Как вычислить длину интервала решений неравенства 49 logx^2 - 7 logx^2 - 2 > 0?

Математика 11 класс Неравенства с логарифмами длина интервала решения неравенства логарифмы математика 11 класс неравенство logx вычисление логарифмов решение неравенств Новый

Чтобы решить неравенство 49 log(x)^2 - 7 log(x)^2 - 2 > 0, начнем с упрощения его. Обозначим log(x) как y. Тогда неравенство можно переписать в следующем виде:

49y^2 - 7y - 2 > 0

Теперь у нас есть квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения 49y^2 - 7y - 2 = 0, используя формулу корней:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 49, b = -7, c = -2. Подставим значения:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 49 * (-2) = 49 + 392 = 441.
• Корни уравнения: y1 = (7 + √441) / (2 * 49) и y2 = (7 - √441) / (2 * 49).

Теперь вычислим корни:

• √441 = 21, тогда y1 = (7 + 21) / 98 = 28 / 98 = 0.2857 (приблизительно).
• y2 = (7 - 21) / 98 = -14 / 98 = -0.1429 (приблизительно).

Таким образом, мы получили два корня: y1 ≈ 0.2857 и y2 ≈ -0.1429.

Теперь мы можем построить числовую прямую и определить промежутки, на которых неравенство выполняется. Мы проверим знаки на интервалах:

• (-∞, -0.1429)
• (-0.1429, 0.2857)
• (0.2857, +∞)

Для проверки знаков выберем по одному значению из каждого интервала:

• Для x < -0.1429, например, y = -1: 49*(-1)^2 - 7*(-1) - 2 = 49 + 7 - 2 = 54 > 0.
• Для -0.1429 < y < 0.2857, например, y = 0: 49*(0)^2 - 7*(0) - 2 = -2 < 0.
• Для y > 0.2857, например, y = 1: 49*(1)^2 - 7*(1) - 2 = 49 - 7 - 2 = 40 > 0.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:

• (-∞, -0.1429)
• (0.2857, +∞)

Теперь вернемся к переменной log(x). Необходимо учесть, что log(x) определен только для x > 0. Поэтому мы ограничиваем наш ответ:

Неравенство 49 log(x)^2 - 7 log(x)^2 - 2 > 0 выполняется для:

• x ∈ (10^0.2857, +∞) (приблизительно, x > 1.92)

Таким образом, длина интервала решений равна:

(+∞ - 1.92) = +∞

В итоге, длина интервала решений неравенства бесконечна.