Как вычислить неопределенные интегралы:

1. x^2 dx/(x^2-5x+6)
2. (sqrt(1-x^2))xdx (под корнем только 1-x^2)

Математика 11 класс Неопределённые интегралы неопределенные интегралы вычисление интегралов интегралы примеры математика 11 класс интегралы x^2 интеграл sqrt(1-x^2) Новый

Чтобы вычислить неопределенные интегралы, давайте разберем каждый из них по отдельности.

1. Интеграл x^2 dx/(x^2-5x+6)

Первым шагом мы можем упростить дробь, выполняя разложение на простые дроби. Сначала найдем корни знаменателя x^2 - 5x + 6:

• Корни уравнения x^2 - 5x + 6 = 0 можно найти с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4*1*6 = 25 - 24 = 1.
• Корни: x1 = (5 + 1)/2 = 3 и x2 = (5 - 1)/2 = 2.

Теперь мы можем разложить дробь:

x^2/(x^2-5x+6) = A/(x-2) + B/(x-3).

Умножим обе стороны на (x-2)(x-3) и подберем коэффициенты:

1. Сравниваем коэффициенты, получаем систему уравнений.
2. Решив систему, найдем значения A и B.

После разложения мы можем интегрировать каждую часть отдельно:

Интеграл A/(x-2) dx + B/(x-3) dx.

Результат будет в виде: A * ln|x-2| + B * ln|x-3| + C, где C - произвольная константа интегрирования.

2. Интеграл (sqrt(1-x^2))xdx

Для этого интеграла мы воспользуемся подстановкой. Заметим, что под корнем стоит выражение 1 - x^2, которое напоминает производную функции арксинуса.

Мы можем использовать подстановку:

• Пусть x = sin(t), тогда dx = cos(t) dt.
• Тогда sqrt(1-x^2) = sqrt(1-sin^2(t)) = cos(t).

Теперь подставим в интеграл:

Итак, интеграл превращается в:

∫ (cos(t) * sin(t) * cos(t)) dt = ∫ (sin(t) * cos^2(t)) dt.

Это можно упростить, используя формулу для синуса:

∫ (1/2) * sin(2t) dt = (1/4) * (-cos(2t)) + C.

Вернемся к переменной x, используя обратное преобразование:

t = arcsin(x), и тогда 2t = 2 * arcsin(x).

Таким образом, результат будет в виде:

(-1/4) * cos(2 * arcsin(x)) + C.

В итоге, мы получили результаты для обоих интегралов. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь, не стесняйтесь спрашивать!