Как вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1. y = (x - 1)²
2. x² - 0,5y² = 1

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры вычисление площади математика 11 класс графики функций интегралы ограниченные области аналитическая геометрия Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, сначала необходимо найти точки пересечения этих линий. Для этого мы будем решать систему уравнений:

1. Первое уравнение: y = (x - 1)²
2. Второе уравнение: x² - 0,5y² = 1

Подставим первое уравнение во второе:

x² - 0,5((x - 1)²)² = 1

Теперь раскроем скобки:

0,5((x - 1)²) = 0,5(x² - 2x + 1) = 0,5x² - x + 0,5

Теперь подставим это в уравнение:

x² - (0,5x² - x + 0,5) = 1

Упростим уравнение:

x² - 0,5x² + x - 0,5 - 1 = 0

Это уравнение можно записать как:

0,5x² + x - 1,5 = 0

Умножим всё уравнение на 2 для удобства:

x² + 2x - 3 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

Корни будут:

x1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-2 ± 4) / 2

Таким образом, корни:

• x1 = 1
• x2 = -3

Теперь найдем соответствующие значения y для этих x:

• Для x = 1: y = (1 - 1)² = 0
• Для x = -3: y = (-3 - 1)² = 16

Теперь у нас есть точки пересечения: (1, 0) и (-3, 16).

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Для этого мы будем интегрировать разность верхней и нижней функции на интервале от -3 до 1:

Функция y = (x - 1)² будет верхней функцией на интервале, а вторая функция будет нижней:

Площадь = ∫ от -3 до 1 ((x - 1)² - (2√(2x² - 2))) dx

Вычисляя этот интеграл, мы получим площадь фигуры. Так как интеграл может быть сложным, его можно вычислить численно или с помощью калькулятора.

Таким образом, мы нашли площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, и определили шаги, которые необходимо выполнить для её вычисления.