Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = -x² + 4 и прямой 2x - y + 1 = 0, нужно выполнить несколько шагов.

Для этого нужно решить систему уравнений, подставив уравнение прямой в уравнение параболы. Сначала выразим y из уравнения прямой:

1. 2x - y + 1 = 0
   => y = 2x + 1

Теперь подставим это значение y в уравнение параболы:

1. -x² + 4 = 2x + 1
2. Переносим все в одну сторону: -x² - 2x + 4 - 1 = 0
3. Получаем: -x² - 2x + 3 = 0
4. Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от минуса: x² + 2x - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

1. D = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16
2. Корни уравнения: x1 = (-b + √D) / (2a) = (-2 + 4) / 2 = 1
3. x2 = (-b - √D) / (2a) = (-2 - 4) / 2 = -3

Таким образом, точки пересечения находятся в x = 1 и x = -3.

Теперь подставим найденные значения x обратно в уравнение прямой или параболы, чтобы найти соответствующие значения y:

1. Для x = 1: y = 2(1) + 1 = 3
2. Для x = -3: y = 2(-3) + 1 = -5

Таким образом, точки пересечения: (1, 3) и (-3, -5).

Площадь фигуры ограничена этими двумя кривыми от x = -3 до x = 1. Для нахождения площади S воспользуемся интегралом:

1. S = ∫ от -3 до 1 (верхняя функция - нижняя функция) dx

В данном случае верхней функцией является парабола, а нижней - прямая:

1. S = ∫ от -3 до 1 ((-x² + 4) - (2x + 1)) dx
2. Упростим подынтегральное выражение: S = ∫ от -3 до 1 (-x² - 2x + 3) dx

Теперь найдем интеграл:

1. ∫ (-x² - 2x + 3) dx = - (x³ / 3) - (2x² / 2) + 3x = - (x³ / 3) - x² + 3x

Теперь подставим пределы интегрирования:

1. S = [- (1³ / 3) - (1²) + 3(1)] - [- (-3³ / 3) - (-3²) + 3(-3)]
2. S = [- (1/3) - 1 + 3] - [(-(-9)) - 9 - 9]
3. S = [2 - (1/3)] - [9 - 9 - 9]
4. S = (6/3 - 1/3) - (-9) = 5/3 + 9 = 5/3 + 27/3 = 32/3

Таким образом, площадь фигуры S равна 32/3 единиц площади.