Как вычислить площадь области, заключенной между кривыми: у = х² + 2 и у = 2 - х? Это необходимо сделать к завтрашнему дню!!!

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь области кривые у = х² + 2 у = 2 - х вычисление площади математика 11 класс Новый

Чтобы вычислить площадь области, заключенной между кривыми y = x² + 2 и y = 2 - x, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения кривых.

Для этого приравняем уравнения:

x² + 2 = 2 - x

Переносим все члены в одну сторону:

x² + x + 2 - 2 = 0

x² + x = 0

Факторизуем:

x(x + 1) = 0

Таким образом, получаем два решения:

• x = 0
• x = -1
2. Определить область интегрирования.

Мы нашли, что кривые пересекаются в точках x = -1 и x = 0. Теперь мы можем определить, какая из кривых находится выше в этом интервале.

Для этого подставим, например, x = -0.5:

y1 = (-0.5)² + 2 = 0.25 + 2 = 2.25

y2 = 2 - (-0.5) = 2 + 0.5 = 2.5

Таким образом, y = 2 - x находится выше y = x² + 2 на интервале от -1 до 0.

3. Записать выражение для площади.

Площадь области между кривыми можно вычислить с помощью интеграла:

Площадь = ∫ (верхняя кривая - нижняя кривая) dx от -1 до 0.

В нашем случае:

Площадь = ∫ (2 - x - (x² + 2)) dx от -1 до 0.

Упрощаем:

Площадь = ∫ (-x - x²) dx от -1 до 0.

4. Вычислить интеграл.

Теперь найдем неопределенный интеграл:

∫ (-x - x²) dx = -0.5x² - (1/3)x³ + C.

Теперь подставим пределы интегрирования от -1 до 0:

Площадь = [-0.5(0)² - (1/3)(0)³] - [-0.5(-1)² - (1/3)(-1)³]

Площадь = [0] - [-0.5(1) + (1/3)]

Площадь = 0 + 0.5 - 1/3 = 0.5 - 0.333 = 0.167.

5. Записать окончательный ответ.

Таким образом, площадь области, заключенной между кривыми, равна 1/6 или 0.167 квадратных единиц.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!