Как вычислить производную от сложной функции y=arccos(3x)?

Математика 11 класс Производная функций производная сложной функции arccos производная вычисление производной 11 класс производная от arccos математика 11 класс Новый

Чтобы вычислить производную функции y = arccos(3x), мы будем использовать правило цепочки, так как это сложная функция. Давайте разберем шаги этого процесса:

1. Определим внешнюю и внутреннюю функции:
   • Внешняя функция: u = arccos(v), где v = 3x.
   • Внутренняя функция: v = 3x.
2. Найдем производную внешней функции:
   • Производная arccos(u) по u равна -1 / sqrt(1 - u^2).
3. Найдем производную внутренней функции:
   • Производная v = 3x по x равна 3.
4. Применим правило цепочки:
   • Производная y по x будет равна производной внешней функции по внутренней, умноженной на производную внутренней функции:
   • dy/dx = (dy/du) * (du/dx).
5. Подставим найденные производные:
   • dy/dx = -1 / sqrt(1 - (3x)^2) * 3.
6. Упростим выражение:
   • dy/dx = -3 / sqrt(1 - 9x^2).

Таким образом, производная функции y = arccos(3x) равна:

dy/dx = -3 / sqrt(1 - 9x^2).