Как выполнить интегрирование выражения arctg^3x/(1+x^2) dx, используя замену переменной?

Математика 11 класс Интегрирование интегрирование arctg замена переменной математика интеграл математический анализ решение интеграла Новый

Давай разберемся, как выполнить интегрирование выражения arctg^3(x)/(1+x^2) с помощью замены переменной! Это увлекательный процесс, и я уверен, что у тебя все получится!

Первое, что нам нужно сделать, это обратить внимание на то, что в нашем интеграле присутствует производная арктангенса. Мы можем использовать замену переменной, чтобы упростить интеграл. Давай сделаем замену:

• Пусть: u = arctg(x)
• Тогда: du/dx = 1/(1+x^2)
• Следовательно: du = 1/(1+x^2) dx

Теперь мы можем переписать наш интеграл в новых переменных:

• Интеграл: ∫ arctg^3(x)/(1+x^2) dx
• С заменой: ∫ u^3 du

Теперь, когда мы выразили интеграл через u, он стал гораздо проще! Интегрируем:

• ∫ u^3 du = (u^4)/4 + C

Не забываем, что u = arctg(x), поэтому подставляем обратно:

• Ответ: (arctg^4(x))/4 + C

Вот и все! Мы успешно выполнили интегрирование! Надеюсь, тебе понравился этот процесс так же, как и мне! Удачи в учебе!