Помогите, пожалуйста, решить интеграл arctg(x)dx.

Математика 11 класс Интегрирование интеграл arctg(x) решение интеграла математика интегрирование методы интегрирования Новый

Чтобы решить интеграл функции arctg(x), мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du

В нашем случае мы выбираем:

• u = arctg(x)
• dv = dx

Теперь нужно найти производную u и интеграл dv:

• du = (1 / (1 + x²)) dx (производная arctg(x))
• v = x (интеграл dx)

Теперь подставим все в формулу интегрирования по частям:

∫arctg(x) dx = x * arctg(x) - ∫x * (1 / (1 + x²)) dx

Теперь нужно решить интеграл ∫(x / (1 + x²)) dx. Для этого мы можем использовать замену переменной:

• Пусть t = 1 + x², тогда dt = 2x dx, следовательно, dx = dt / (2x).

Теперь подставим x в выражение для интеграла:

Когда x = 0, t = 1; когда x = a, t = 1 + a². Таким образом:

∫(x / (1 + x²)) dx = (1/2) ∫(1 / t) dt = (1/2) ln|t| + C = (1/2) ln|1 + x²| + C

Теперь подставим это обратно в наше выражение:

∫arctg(x) dx = x * arctg(x) - (1/2) ln|1 + x²| + C

Таким образом, окончательный ответ будет:

∫arctg(x) dx = x * arctg(x) - (1/2) ln(1 + x²) + C

Где C - произвольная константа интегрирования.