Чтобы решить интеграл функции arctg(x), мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du

В нашем случае мы выбираем:

• u = arctg(x)
• dv = dx

Теперь нужно найти производную u и интеграл dv:

• du = (1 / (1 + x²)) dx (производная arctg(x))
• v = x (интеграл dx)

Теперь подставим все в формулу интегрирования по частям:

∫arctg(x) dx = x * arctg(x) - ∫x * (1 / (1 + x²)) dx

Теперь нужно решить интеграл ∫(x / (1 + x²)) dx. Для этого мы можем использовать замену переменной:

• Пусть t = 1 + x², тогда dt = 2x dx, следовательно, dx = dt / (2x).

Теперь подставим x в выражение для интеграла:

Когда x = 0, t = 1; когда x = a, t = 1 + a². Таким образом:

∫(x / (1 + x²)) dx = (1/2) ∫(1 / t) dt = (1/2) ln|t| + C = (1/2) ln|1 + x²| + C

Теперь подставим это обратно в наше выражение:

∫arctg(x) dx = x * arctg(x) - (1/2) ln|1 + x²| + C

Таким образом, окончательный ответ будет:

∫arctg(x) dx = x * arctg(x) - (1/2) ln(1 + x²) + C

Где C - произвольная константа интегрирования.