Какие основные операции можно выполнять с комплексными числами в алгебраической форме, и каким образом это можно показать на чертеже?

Математика 11 класс Комплексные числа операции с комплексными числами алгебраическая форма чертеж комплексных чисел сложение комплексных чисел вычитание комплексных чисел умножение комплексных чисел деление комплексных чисел Новый

Комплексные числа можно представить в алгебраической форме как z = a + bi, где a - действительная часть, b - мнимая часть, а i - мнимая единица, удовлетворяющая условию i² = -1. Основные операции, которые можно выполнять с комплексными числами, включают:

• Сложение
• Вычитание
• Умножение
• Деление

Теперь давайте рассмотрим каждую из операций более подробно:

1. Сложение: Чтобы сложить два комплексных числа, нужно сложить их действительные и мнимые части отдельно. Например, если z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i, то:
• z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i

На чертеже это можно показать, как векторное сложение: каждый вектор, представляющий комплексное число, складывается с другим, образуя новый вектор.

2. Вычитание: Для вычитания комплексных чисел также складываются отдельно действительные и мнимые части, но с учетом знаков. Например:
• z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i

На чертеже это будет выглядеть как вычитание векторов: от конца первого вектора проводят линию к концу второго вектора.

3. Умножение: Умножение комплексных чисел требует применения распределительного закона. Например:
• z1 * z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + b1a2i + b1b2(i²) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i

На чертеже умножение можно представить как изменение длины и угла вектора при переходе от одного комплексного числа к другому.

4. Деление: Деление комплексных чисел выполняется с использованием сопряженного числа. Например:
• z1 / z2 = (a1 + b1i) / (a2 + b2i) * (a2 - b2i) / (a2 - b2i) = [(a1a2 + b1b2) + (b1a2 - a1b2)i] / (a2² + b2²)

На чертеже деление можно показать как изменение длины и угла вектора, аналогично умножению, но с учетом обратного направления.

Таким образом, все основные операции с комплексными числами могут быть представлены как операции с векторами на комплексной плоскости, где действительная часть соответствует оси X, а мнимая часть - оси Y.