Каким образом можно проанализировать функцию y=-x²+5x+4, используя производную, и как построить её график?

Математика 11 класс Исследование функций анализ функции производная график функции y=-x²+5x+4 нахождение экстремумов построение графика математический анализ функции и производные Новый

Для анализа функции y = -x² + 5x + 4 с помощью производной, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции:

   Производная функции y по x обозначается как y'. Мы используем правило дифференцирования:

   y' = d/dx (-x² + 5x + 4) = -2x + 5.

2. Найти критические точки:

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Устанавливаем производную равной нулю:

   -2x + 5 = 0.

   Решаем это уравнение:

   -2x = -5

   x = 5/2 = 2.5.

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 2.5.

3. Определить тип критической точки:

   Для этого мы можем использовать второй производной тест. Найдем вторую производную:

   y'' = d/dx (-2x + 5) = -2.

   Так как вторая производная постоянная и отрицательная (y'' < 0), это означает, что функция имеет максимум в критической точке.

4. Найти координаты максимума:

   Теперь подставим x = 2.5 в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y:

   y(2.5) = - (2.5)² + 5(2.5) + 4 = -6.25 + 12.5 + 4 = 10.25.

   Таким образом, координаты максимума: (2.5, 10.25).

5. Найти нули функции:

   Чтобы найти нули функции, решим уравнение:

   -x² + 5x + 4 = 0.

   Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

   D = b² - 4ac = 5² - 4*(-1)*4 = 25 + 16 = 41.

   Корни уравнения:

   x₁ = (5 + √41)/(-2) и x₂ = (5 - √41)/(-2).

6. Построить график функции:

   Теперь, когда мы нашли максимум и нули функции, можно построить график:

   • На оси X отметьте критическую точку x = 2.5 и нули функции.
   • На оси Y отметьте значение максимума y = 10.25.
   • Постройте параболу, которая открыта вниз, проходящую через найденные точки.

Таким образом, мы проанализировали функцию y = -x² + 5x + 4, нашли её максимум, критические точки и нули, а также построили график.