Какое количество способов можно распределить 5 одинаковых книг по математике, 3 одинаковых книги по физике и 2 одинаковых книги по химии между 4 студентами, при условии, что каждый из студентов должен получить хотя бы одну книгу?

Математика 11 класс Комбинаторика распределение книг комбинаторика задача на распределение 5 одинаковых книг 3 одинаковых книги 2 одинаковых книги 4 студента минимум одна книга математическая задача способы распределения

Чтобы решить задачу, мы используем метод включений-исключений.

1. Общее количество способов распределить книги без ограничений:
• Математика: (5+4-1)C(4-1) = 8C3 = 56
• Физика: (3+4-1)C(4-1) = 6C3 = 20
• Химия: (2+4-1)C(4-1) = 5C3 = 10
2. Общее количество способов: 56 * 20 * 10 = 11200
3. Теперь вычтем случаи, когда хотя бы один студент не получает книги.
4. Количество способов, когда один студент не получает книг:
• Математика: (5+3-1)C(3-1) = 7C2 = 21
• Физика: (3+3-1)C(3-1) = 5C2 = 10
• Химия: (2+3-1)C(3-1) = 4C2 = 6
5. Количество способов для 1 студента: 21 * 10 * 6 = 1260
6. Количество способов для 4 студентов: 4 * 1260 = 5040
7. Теперь добавим случаи, когда два студента не получают книги:
• Математика: (5+2-1)C(2-1) = 6C1 = 6
• Физика: (3+2-1)C(2-1) = 4C1 = 4
• Химия: (2+2-1)C(2-1) = 3C1 = 3
8. Количество способов для 2 студентов: 6 * 4 * 3 = 72
9. Количество способов для 6 пар студентов: 6 * 72 = 432
10. Теперь итоговая формула:
11. 11200 - 5040 + 432 = 6720

Ответ: 6720 способов.

Для решения задачи о распределении книг между студентами, необходимо учитывать, что каждая группа книг состоит из одинаковых экземпляров, а также что каждый студент должен получить хотя бы одну книгу. Мы будем использовать метод включения-исключения для учёта условия о том, что каждый студент должен получить хотя бы одну книгу.

Сначала найдем общее количество способов распределить книги без учета условия, что каждый студент должен получить хотя бы одну книгу. Для этого мы можем воспользоваться формулой для распределения n одинаковых предметов по k различным группам:

1. Количество способов распределить 5 одинаковых книг по математике между 4 студентами можно найти по формуле "с повторениями": C(n + k - 1, k - 1), где n - количество книг, k - количество студентов. В нашем случае это будет C(5 + 4 - 1, 4 - 1) = C(8, 3).
2. Количество способов распределить 3 одинаковых книги по физике между 4 студентами: C(3 + 4 - 1, 4 - 1) = C(6, 3).
3. Количество способов распределить 2 одинаковых книги по химии между 4 студентами: C(2 + 4 - 1, 4 - 1) = C(5, 3).

Теперь мы можем найти общее количество способов распределения всех книг:

Общее количество способов = C(8, 3) * C(6, 3) * C(5, 3).

Теперь вычислим каждую из комбинаций:

• C(8, 3) = 56
• C(6, 3) = 20
• C(5, 3) = 10

Таким образом, общее количество способов распределения книг без учёта условия о том, что каждый студент должен получить хотя бы одну книгу:

56 * 20 * 10 = 11200.

Теперь применим принцип включения-исключения, чтобы учесть условие, что каждый студент должен получить хотя бы одну книгу.

Сначала найдем количество способов, при которых хотя бы один студент не получает книгу. Для этого мы можем выбрать одного студента, который не получит книг, и распределить книги между остальными 3 студентами:

1. Выберем 1 студента из 4, который не будет получать книги: C(4, 1) = 4.
2. Количество способов распределить 5 одинаковых книг по математике между 3 студентами: C(5 + 3 - 1, 3 - 1) = C(7, 2).
3. Количество способов распределить 3 одинаковых книги по физике между 3 студентами: C(3 + 3 - 1, 3 - 1) = C(5, 2).
4. Количество способов распределить 2 одинаковых книги по химии между 3 студентами: C(2 + 3 - 1, 3 - 1) = C(4, 2).

Теперь вычислим каждую из комбинаций:

• C(7, 2) = 21
• C(5, 2) = 10
• C(4, 2) = 6

Таким образом, количество способов, при которых хотя бы один студент не получает книгу:

4 * 21 * 10 * 6 = 5040.

Теперь применим принцип включения-исключения:

Общее количество способов, при котором хотя бы один студент не получает книгу, составляет 5040. Поэтому количество способов, при которых все студенты получают хотя бы одну книгу, будет равно:

11200 - 5040 = 6160.

Таким образом, общее количество способов распределить 5 одинаковых книг по математике, 3 одинаковых книги по физике и 2 одинаковых книги по химии между 4 студентами, при условии, что каждый из студентов должен получить хотя бы одну книгу, составляет 6160.