Какое максимальное значение может иметь функция y = √(x + 7) + √(11 - x)?

Математика 11 класс Оптимизация функций максимальное значение функции y = √(x + 7) y = √(11 - x) математика 11 класс задачи на максимум анализ функций Новый

Для нахождения максимального значения функции y = √(x + 7) + √(11 - x) необходимо сначала определить область определения данной функции. Это важно, так как мы ищем максимум функции в пределах допустимых значений x.

• Первый корень √(x + 7) определен при условии, что x + 7 ≥ 0, что означает x ≥ -7.
• Второй корень √(11 - x) определен при условии, что 11 - x ≥ 0, что означает x ≤ 11.

Таким образом, область определения функции будет от -7 до 11, то есть:

-7 ≤ x ≤ 11

Теперь, чтобы найти максимальное значение функции, мы можем воспользоваться производной. Найдем производную функции y:

y' = d(√(x + 7))/dx + d(√(11 - x))/dx

Производная первого слагаемого:

d(√(x + 7))/dx = 1/(2√(x + 7))

Производная второго слагаемого:

d(√(11 - x))/dx = -1/(2√(11 - x))

Теперь запишем полное выражение для производной:

y' = 1/(2√(x + 7)) - 1/(2√(11 - x))

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

1/(2√(x + 7)) - 1/(2√(11 - x)) = 0

Умножим обе части уравнения на 2√(x + 7)√(11 - x):

√(11 - x) = √(x + 7)

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

11 - x = x + 7

Решим это уравнение:

1. 11 - x = x + 7
2. 11 - 7 = 2x
3. 4 = 2x
4. x = 2

Теперь у нас есть критическая точка x = 2. Проверим также значения функции на границах области определения:

• y(-7) = √(0) + √(18) = 0 + √(18) = 3√2 ≈ 4.24
• y(11) = √(18) + √(0) = √(18) + 0 = 3√2 ≈ 4.24
• y(2) = √(9) + √(9) = 3 + 3 = 6

Теперь сравним найденные значения:

• y(-7) ≈ 4.24
• y(11) ≈ 4.24
• y(2) = 6

Таким образом, максимальное значение функции y = √(x + 7) + √(11 - x) на отрезке [-7, 11] равно:

6 при x = 2.