Какое минимальное значение функции y=2x^3+1/2x^2-x на интервале (0;1)?

Математика 11 класс Оптимизация функций минимальное значение функции функция y=2x^3+1/2x^2-x интервал (0;1) математика 11 класс анализ функции Новый

Чтобы найти минимальное значение функции y = 2x^3 + (1/2)x^2 - x на интервале (0;1), мы будем следовать следующим шагам:

1. Найдем производную функции:

Для начала, нам нужно найти первую производную функции y по x. Это поможет нам определить критические точки, где функция может иметь минимумы или максимумы.

Производная функции y будет:

• y' = d/dx (2x^3) + d/dx ((1/2)x^2) - d/dx (x)
• y' = 6x^2 + x - 1
2. Решим уравнение y' = 0:

Теперь мы найдем критические точки, решив уравнение 6x^2 + x - 1 = 0.

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 6, b = 1, c = -1.

Подставляем значения:

• D = 1^2 - 4 * 6 * (-1) = 1 + 24 = 25
• x = (-1 ± √25) / (2 * 6)
• x = (-1 ± 5) / 12

Таким образом, мы получаем два корня:

• x1 = (4) / 12 = 1/3
• x2 = (-6) / 12 = -1/2 (не подходит, так как мы ищем только в интервале (0;1))
3. Проверим значения функции в критической точке и на границах интервала:

Теперь мы должны вычислить значение функции y в критической точке x = 1/3 и на границах интервала x = 0 и x = 1.

• y(1/3) = 2(1/3)^3 + (1/2)(1/3)^2 - (1/3)
• y(1/3) = 2(1/27) + (1/2)(1/9) - (1/3)
• y(1/3) = 2/27 + 1/18 - 1/3
• y(1/3) = 2/27 + 3/54 - 18/54 = (4 + 3 - 18)/54 = -11/54
• y(0) = 2(0)^3 + (1/2)(0)^2 - (0) = 0
• y(1) = 2(1)^3 + (1/2)(1)^2 - (1) = 2 + 1/2 - 1 = 1.5
4. Сравним значения:

Теперь сравним найденные значения:

• y(1/3) = -11/54 ≈ -0.2037
• y(0) = 0
• y(1) = 1.5
5. Вывод:

Минимальное значение функции на интервале (0;1) достигается в точке x = 1/3 и равно -11/54.

Таким образом, ответ: минимальное значение функции y = 2x^3 + (1/2)x^2 - x на интервале (0;1) равно -11/54.