Для решения этой задачи нам нужно минимизировать площадь поверхности цилиндра, при этом объем цилиндра должен оставаться постоянным. Давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом.

Обозначим следующие параметры:

• r - радиус основания цилиндра;
• H - высота цилиндра;
• V - объем цилиндра (он будет постоянным);
• S - площадь поверхности цилиндра (это то, что мы хотим минимизировать).

Формулы, которые нам понадобятся:

• Объем цилиндра: V = πr²H
• Площадь поверхности цилиндра: S = 2πr² + 2πrH

Теперь, чтобы минимизировать площадь поверхности S, нам нужно выразить её через одну переменную. Мы можем выразить H через r, используя формулу объема:

1. Из формулы объема выразим H: H = V / (πr²).
2. Подставим это значение H в формулу площади поверхности S:

S = 2πr² + 2πr(V / (πr²)) = 2πr² + 2V/r.

Теперь у нас есть S, зависящая от r. Чтобы найти минимум, найдем производную S по r и приравняем её к нулю:

1. Находим производную: S' = 4πr - 2V/r².
2. Приравниваем производную к нулю: 4πr - 2V/r² = 0.
3. Решаем это уравнение:
• 4πr = 2V/r²;
• 4πr³ = 2V;
• r³ = V/(2π);
• r = (V/(2π))^(1/3).

Теперь, зная значение r, можем найти H:

1. Подставим r в формулу для H: H = V / (π((V/(2π))^(1/3))²).
2. Упростим это выражение:
• H = V / (π(V²/(4π²))^(1/3)) = 4(V/(2π))^(1/3).

Теперь у нас есть соотношение между H и r:

H = 2r.

Это означает, что для минимизации количества жести, необходимого для изготовления консервной банки, высота H должна быть в два раза больше радиуса D (где D = 2r).

Таким образом, оптимальное соотношение между высотой H и диаметром D (где D = 2r) будет:

Это и есть ответ на ваш вопрос.