Какое соотношение между высотой Н и радиусом D консервной банки в форме цилиндра позволит минимизировать количество жести, необходимое для ее изготовления, при заданном объеме?

Математика 11 класс Оптимизация функций высота Н радиус D консервная банка минимизация жести объём цилиндра геометрия оптимизация задачи по математике Новый

Для решения этой задачи нам нужно минимизировать площадь поверхности цилиндра, при этом объем цилиндра должен оставаться постоянным. Давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом.

Обозначим следующие параметры:

• r - радиус основания цилиндра;
• H - высота цилиндра;
• V - объем цилиндра (он будет постоянным);
• S - площадь поверхности цилиндра (это то, что мы хотим минимизировать).

Формулы, которые нам понадобятся:

• Объем цилиндра: V = πr²H
• Площадь поверхности цилиндра: S = 2πr² + 2πrH

Теперь, чтобы минимизировать площадь поверхности S, нам нужно выразить её через одну переменную. Мы можем выразить H через r, используя формулу объема:

1. Из формулы объема выразим H: H = V / (πr²).
2. Подставим это значение H в формулу площади поверхности S:

S = 2πr² + 2πr(V / (πr²)) = 2πr² + 2V/r.

Теперь у нас есть S, зависящая от r. Чтобы найти минимум, найдем производную S по r и приравняем её к нулю:

1. Находим производную: S' = 4πr - 2V/r².
2. Приравниваем производную к нулю: 4πr - 2V/r² = 0.
3. Решаем это уравнение:
• 4πr = 2V/r²;
• 4πr³ = 2V;
• r³ = V/(2π);
• r = (V/(2π))^(1/3).

Теперь, зная значение r, можем найти H:

1. Подставим r в формулу для H: H = V / (π((V/(2π))^(1/3))²).
2. Упростим это выражение:
• H = V / (π(V²/(4π²))^(1/3)) = 4(V/(2π))^(1/3).

Теперь у нас есть соотношение между H и r:

H = 2r.

Это означает, что для минимизации количества жести, необходимого для изготовления консервной банки, высота H должна быть в два раза больше радиуса D (где D = 2r).

Таким образом, оптимальное соотношение между высотой H и диаметром D (где D = 2r) будет:

H = D.

Это и есть ответ на ваш вопрос.